Двойной интеграл в полярных координатах

Пусть
в двойном интеграле

(1)

при
обычных предположениях
мы желаем перейти
к полярным
координатам
r и
f,
полагая

Область
интегрирования
S
разобьем на
элементарные
ячейки Si
с помощью
координатных
линий r
= ri
(окружности)
и 
= i
(лучи) (рис.1).

Введем
обозначения:

rj
= rj+1
- rj,

i
= i+1
- i

Так
как окружность
перпендикулярна
(ортогональна)
радиусам, то
внутренние
ячейки Si
с точностью
до бесконечно
малых высшего
порядка

малости
относительно
их площади
можно рассматривать
как прямоугольники
с измерениями
rji
и rj;
поэтому
площадь каждой
такой ячейки
будет равна:

Si
= rj i
rj (3)

Что
касается ячеек
Sij
неправильной
формы, примыкающих
к границе Г
области интегрирования
S,
то эти ячейки
не повлияют
на значение
двойного интеграла
и мы их будем
игнорировать.

В качестве
точки Mij

Sij
для простоты
выберем вершину
ячейки Sij
с полярными
координатами
rj
и i.
Тогда декартовые
координаты
точки Mij
равны:

И
следовательно,

f(xij,yij)
= f(rj
cos i,
rj
sin i) (3')

Двойной
интеграл (1)
представляет
собой предел
двумерной
интегральной
суммы, причем
можно показать,
что на значение
этого предела
не влияют добавки
к слагаемым

интегральной
суммы, являющиеся
бесконечно
малыми высшего
порядка малости,
поэтому учитывая
формулы (3) и (3'),
получаем:

(4)

где
d -
максимальный
диаметр ячеек
Sij
и сумма распространена
на все ячейки
указанного
выше вида, целиком
содержащиеся
в области S.
С другой стороны,
величины i
и rj
суть числа и
их можно рассматривать
как прямоугольные
декартовые
координаты
некоторых
точек плоскости
Or.
Таким образом,
сумма (4) является
интегральной
суммой для
функции

f(r

соответствующая
прямоугольной
сетке с линейными
элементами
i
и ri.
Следовательно

(5)

Сравнивая
формулы (4) и (5),
получим окончательно

(6)

Выражение

dS
= r d
dr

называется
двумерным
элементом
площади в полярных
координатах.
Итак, чтобы
в двойном интеграле
(1) перейти к
полярным
координатам,
достаточно
координаты
x
и
y
заменить
по формулам
(2), а вместо элемента
площади dS
подставить
выражение (7).

Для
вычисления
двойного интеграла
(6) его нужно
заменить повторным.
Пусть область
интегрирования
S
определяется
неравенствами

Где
r1(),
r1()
- однозначные
непрерывные
функции на
отрезке [,].
(рис 2).

Имеем

(8)

Где

F(r,)
= rf(r cos,
r sin)

Пример
1.

Переходя
к полярным
координатам

и r, вычислить
двойной интеграл

Где
S -
первая четверть
круга радиуса
R=1,
с центром в
точке О(0,0) (рис
3).

Так
как

то
применяя формулу
(6),

получим

Область
S определена

Неравенствами

Поэтому
на основании
формулы (8) имеем

Пример
2.

В
интеграле

(9)

перейти
к полярным
координатам.

Область
интегрирования
здесь есть
треугольник
S, ограниченный
прямыми y=0,
y=x, x=1 (рис
4).

В полярных
координатах
уравнения

этих
прямых записываются

следующим
образом: =0,

=/4,
r cos=1
и,

следовательно,
область S

определяется
неравенствами

Отсюда
на основании
формул

(6) и(8),
учитывая, что

имеем

Краснодарский
Колледж Электронного
Приборостроения

РЕФЕРАТ

Выполнил
студент

группы 60-5ЭВТ

Немцев Михаил

Краснодар

1998г.