Структура сходящихся последовательностей

Последовательность, у которой существует предел, называется сходящейся. Последовательность не являющаяся сходящейся называется расходящейся.

Определение: Последовательность {xn
} называется сходящейся, если существует такое число а, что последовательность {xn
-а} является бесконечно малой. При этом число а называется пределом последовательности {xn
}.

В соответствии с этим определением всякая бесконечно малая последовательность является сходящейся и имеет своим пределом число ноль.

Можно, также, дать еще одно определение сходящейся последовательности: Последовательность {xn
} называется сходящейся, если существует такое число а, что для любого положительного числа e можно указать номер N такой, что при n³N все элементы xn
этой последовательности удовлетворяют неравенству:

|xn
-a|<e.

Некоторые свойства сходящихся последовательностей:

ТЕОРЕМА: Сходящаяся последовательность имеет только один предел.

Доказательство: Пусть a и b – пределы сходящейся последовательности {xn
}. Тогда, используя специальное представление для элементов xn
сходящейся последовательности {xn
}, получим xn
=а+an
, xn
=b+bn
, где an
и bn
– элементы бесконечно малых последовательностей {an
} и {bn
}.

Вычитая данные соотношения, найдем an
-bn
=b-a. Так как все элементы бесконечно малой последовательности {an
-bn
} имеют одно и то же постоянное значение b-a, то (по теореме: Если все элементы бесконечно малой последовательности {an
} равны одному и тому же числу с, то с=0) b-a=0, т.е. b=a. Теорема доказана.

ТЕОРЕМА: Сходящаяся последовательность ограничена.

Доказательство: Пусть {xn
} - сходящаяся последовательность и а – ее предел. Представим ее в следующем виде:

xn
=а+an
,

где an
- элемент бесконечно малой последовательности. Так как бесконечно малая последовательность {an
} ограничена (по теореме: Бесконечно малая последовательность ограничена.), то найдется такое число А, что для всех номеров n справедливо неравенство |an
|£А. Поэтому | xn
| £ |a| + A для всех номеров n, что и означает ограниченность последовательности {xn
}. Теорема доказана.

Ограниченная последовательность может и не быть сходящейся. Например, последовательность 1, -1, 1, -1, … - ограничена , но не является сходящейся. В самом деле, если бы эта последовательность сходилась к некоторому числу а, то каждая из последовательностей {xn
-a} и {xn+1
-a} являлась бы бесконечно малой. Но тогда (по теореме: Разность бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.) {(xn
-a) – (xn+1
-a)}={xn
– xn+1
} была бы бесконечно малой, что невозможно т.к. |xn
– xn+1
| = 2 для любого номера n.

ТЕОРЕМА: Сумма сходящихся последовательностей {хn
} и {yn
} есть сходящаяся последовательность, предел которой равен сумме пределов последовательностей {хn
} и {yn
}.

Доказательство: Пусть а и b – соответственно пределы последовательностей {хn
} и {yn
}. Тогда:

xn
=а+an
, yn
=b+bn
,

где {an
} и {bn
) – бесконечно малые последовательности. Следовательно, (хn
+ yn
) - (а + b) =an
+bn
.

Таким образом, последовательность {(хn
+ yn
) - (а + b)} бесконечно малая, и поэтому последователдьность {хn
+ yn
} сходится и имеет своим пределом число а+b. Теорема доказана.

ТЕОРЕМА: Разность сходящихся последовательностей {хn
} и {yn
} есть сходящаяся последовательность, предел которой равен разности пределов последовательностей {хn
} и {yn
}.

Доказательство: Пусть а и b – соответственно пределы последовательностей {хn
} и {yn
}.Тогда:

xn
=а+an
, yn
=b+bn
,

где {an
} и {bn
) – бесконечно малые последовательности. Следовательно, (хn
- yn
) - (а - b) =an
-bn
.

Таким образом, последовательность {(хn
- yn
) - (а - b)} бесконечно малая, и поэтому последователдьность {хn
- yn
} сходится и имеет своим пределом число а-b. Теорема доказана.

ТЕОРЕМА: Произведение сходящихся последовательностей {хn
} и {yn
} есть сходящаяся последовательность, предел которой равен произведению пределов последовательностей {хn
} и {yn
}.

Доказательство: Пусть а и b – соответственно пределы последовательностей {хn
} и {yn
}, то xn
=а+an
, yn
=b+bn
и xn
×yn
=a×b+a×bn
+b×an
+an
×bn
. Следовательно,

xn
×yn
-а×b=a×bn
+b×an
+an
×bn
.

(в силу теоремы: Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую есть бесконечно малая последовательность.) последовательность {a×bn
+b×an
+an
×bn
} бесконечно малая, и поэтому последовательность {xn
×yn
-а×b} тоже бесконечно малая, а значит последовательность {xn
×yn
} сходится и имеет своим пределом число а×b. Теорема доказана.

ЛЕММА: Если последовательность {yn
} сходится и имеет отличный от ноля предел b, то, начиная с некоторого номера, определена последовательность , которая является ограниченной.

Доказательство: Пусть . Так как b¹0, то e>0. Пусть N – номер, соответствующий этому e, начиная с которого выполняется неравенство:

|yn
-b|<e или |yn
-b|<

из этого неравенства следует, что при n³N выполняется неравенство |yn
|>. Поэтому при n³N имеем . Следовательно, начиная с этого номера N, мы можем рассматривать последовательность , и эта последовательность ограничена. Лемма доказана.

ТЕОРЕМА: Частное двух сходящихся последовательностей {xn
} и {yn
} при условии, что предел {yn
} отличен от ноля, есть сходящаяся последовательность, предел которой равен частному пределов последовательностей {xn
} и {yn
}.

Доказательство: Из доказанной ранее леммы следует, что, начиная с некоторого номера N, элементы последовательности {yn
} отличны от ноля и последовательность ограничена. Начиная с этого номера, мы и будем рассматривать последовательность . Пусть а и b – пределы последовательностей {xn
} и {yn
}. Докажем, что последовательность бесконечно малая. В самом деле, так как xn
=а+an
, yn
=b+bn
, то

. Так как последовательность ограничена, а последовательность бесконечно мала, то последовательность бесконечно малая. Теорема доказана.

Итак, теперь можно сказать, что арифметические операции над сходящимися последовательностями приводят к таким же арифметическим операциям над их пределами.

ТЕОРЕМА: Если элементы сходящейся последовательности {xn
}, начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравентству xn
³b (xn
£b), то и предел а этой последовательности удовлетворяет неравенству а³b (a£b).

Доказательство: Пусть все элементы xn
, по крайней мере начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству xn
³b. Предположим, что а<b. Поскольку а – предел последовательности {xn
}, то для положительного e=b-a можно указать номер N такой, что при n³N выполняется неравенство

|xn
-a|<b-a.

Это неравенство эквивалентно

-(b-a)<xn
-a<b-a

Используя правое из этих неравенств мы получим xn
<b, а это противоречит условию теоремы. Случай xn
£b рассматривается аналогично. Теорема доказана.

Элементы сходящейся последовательности {xn
} могут удовлетворять строгому неравенству xn
>b, однако при этом предел а может оказаться равным b. Например, если xn
=1/n, то xn
>0, однако .

Следствие 1: Если элементы xn
и уn
у сходящихся последовательностей {xn
} и {yn
}, начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству xn
£ уn
, то их пределы удовлетворяют аналогичному неравенству

.

Элементы последовательности {yn
-xn
} неотрицательны, а поэтому неотрицателен и ее предел . Отсюда следует, что

.

Следствие 2: Если все элементы сходящейся последовательности {xn
} находятся на сегменте [a,b], то и ее предел с также находится на этом сегменте.

Это выполняется, так как а£xn
£b, то a£c£b.

ТЕОРЕМА: Пусть {xn
} и {zn
}- сходящиеся последовательности, имеющие общий предел а. Пусть, кроме того, начиная с некоторого номера, элементы последовательности {yn
}удовлетворяют неравенствам xn
£yn
£zn
. Тогда последовательность {yn
} сходится и имеет предел а.

Доказательство: достаточно доказать, что {yn
-a} является бесконечно малой. Обозначим через N’ номер, начиная с которого, выполняются неравенства, указанные в условии теоремы. Тогда, начиная с этого же номера, будут выполнятся также неравенства xn
-а £ yn
-а £ zn
-а. Отсюда следует, что при n³N’ элементы последовательности {yn
-a} удовлетворяют неравенству

|yn
-a| £ max {|xn
-a|, |zn
-a|}.

Так как и , то для любого e>0 можно указать номера N1
и N2
такие, что при n³N1
|xn
-a|<e, а при n³N2
|zn
-a|<e. Итак последовательность {yn
-a} бесконечно малая. Теорема доказана.

Итак, мы показали неравенства, которым удовлетворяют элементы сходящихся последовательностей, в пределе переходят в соответствующие неравенства для пределов этих последовательностей.

ПРИМЕРЫ