ПЛАН
Введение
Глава 1.
§1. Теоретические основы решения уравнений с параметрами.
§2. Основные виды уравнений с параметрами.
Глава 2.
§1. Разработка факультативных занятий по теме.
Заключение.
ВВЕДЕНИЕ
Главной целью факультативных занятий по математике являются расширение и углубление знаний, развитие интереса учащихся к предмету, развитие их математических способностей. Процесс обучения строится как совместная исследовательская деятельность учащихся.
Большую роль в развитии математического мышления учащихся на факультативных занятиях играет изучение темы "Уравнения с параметрами". Вместе с тем изучение этой темы в школьной программе не уделено достаточного внимания. Интерес к теме объясняется тем, что уравнения с параметрами предлагаются как на школьных выпускных экзаменах, так и на вступительных экзаменах в вузы.
Целью курсовой работы является ознакомление учащихся с теоретическими основами решения уравнений с параметрами, основными их видами и рекомендациями к решению.
ГЛАВА 1
§1. Теоретические основы решения уравнений с параметрами.
Рассмотрим уравнение
F
(х, у, ..., z; α,β, ..., γ
) =
0 (F
)
с неизвестными х, у, ..., z
и с параметрами α,β, ..., γ
;при всякой допустимой системе значений параметров α0
,β0
, ..., γ0
уравнение (F) обращается в уравнение
F(х, у, ..., z; α0
,β0
, ..., γ0
)
=
0(F0
)
с неизвестными х, у,...,
z, не содержащее параметров. Уравнение (Fo
) имеет некоторое вполне определенное множество (быть, может, пустое) решений.
Аналогично рассматриваются системы уравнений, содержащих параметры. Допустимыми системами значений параметров считаются системы, допустимые для каждого уравнения в отдельности.
Определение.
Решить уравнение (или систему), содержащее параметры, это значит, для каждой допустимой системы значений параметров найти множество всех решений данного уравнения (системы).
Понятие эквивалентности применительно к уравнению, содержащим параметры, устанавливается следующим образом.
Определение.
Два уравнения (системы)
F(х, у, ..., z; α,β, ..., γ) =
0 (F
),
Ф (х, у, ..., z; α,β, ..., γ)
=
0 (Ф
)
с неизвестным х, у,..., z и с параметрами α,β, ..., γ называются эквивалентными, если для обоих уравнений (систем) множество допустимых систем значений параметров одно и то же и при всякой допустимой системе значений, параметров оба уравнения (системы уравнений) эквивалентны.
Итак, эквивалентные уравнения при всякой допустимой системе значений параметров имеют одно и то же множество решений.
Преобразование уравнения, изменяющее множество допустимых систем значений параметров, приводит к уравнению, не эквивалентному данному уравнению.
Предположим, что каждое из неизвестных, содержащихся в уравнении
F(x, у,,z; α,β, ..., γ)
=0 (F
)
задано в виде некоторой функции от параметров: х = х(α,β, ..., γ
);
у = у(α,β, ..., γ);….
z=
z (α,β, ..., γ). (Х)
Говорят, что система функций (Х
), заданных совместно, удовлетворяет уравнению (F
), если при подстановке этих функций вместо неизвестных х, у,...,
z в уравнение (F) левая его часть обращается в нуль тождественно при всех допустимых значениях параметров:
F
(
x
(α,β, ..., γ),
y(
α,β, ..., γ),…,
z (α,β, ..., γ
)
≡0.
При всякой допустимой системе численных значений параметров α = α0
,β=β0
, ..., γ= γ0
соответствующие значения функций (Х
) образуют решение уравнения
F(х, у, ..., z; α0
,β0
, ..., γ0
) =
0
§2. Основные виды уравнений с параметрами .
Линейные и квадратные уравнения.
Линейное уравнение, записанное в общем виде, можно рассматривать как уравнение с параметрами : ах
= b
, где х
– неизвестное, а,
b
– параметры. Для этого уравнения особым или контрольным значением параметра является то, при котором обращается в нуль коэффициент при неизвестном.
При решении линейного уравнения с параметром рассматриваются случаи, когда параметр равен своему особому значению и отличен от него.
Особым значением параметра а является значение а
= 0.
1. Если а
≠ 0 , то при любой паре параметров а и b оно имеет единственное решение х
= .
2. Если а
= 0, то уравнение принимает вид: 0 х
= b
. В этом случае значение b
= 0 является особым значением параметра b
.
2.1. При b
≠ 0 уравнение решений не имеет.
2.2. При b
= 0 уравнение примет вид : 0 х
= 0. Решением данного уравнения является любое действительное число.
П р и м е р . Решим уравнение
2а(а —
2) х=а —
2. (2)
Р е ш е н и е. Здесь контрольными будут те значения параметра, при которых коэффициент при х
обращается в 0.
Такими значениями являются а=0
и а=2.
При этих значениях а
невозможно деление обеих частей уравнения на коэффициент при х.
В то же время при значениях параметра а≠0, а≠2
это деление возможно. Таким образом, целесообразно множество всех действительных значений параметра разбить на подмножества
A1
={0}, А2
={2} и Аз= {а
≠0, а
≠2}
и решить уравнение (2) на каждом из этих подмножеств, т. е. решить уравнение (2) как семейство уравнений, получающихся из него при следующих значениях параметра:
1) а=
0 ;
2) а=
2 ;
3) а≠0, а≠2
Рассмотрим эти случаи.
1) При а=
0уравнение (2) принимает вид 0 х
= — 2. Это уравнение не имеет корней.
2) При а=
2уравнение (2) принимает вид 0 х
=0. Корнем этого уравнения является любое действительное число.
3) При а≠0, а≠2 из уравнения (2) получаем, х=
откуда х= .
0 т в е т: 1) если а=
0,
то корней нет; 2) если а=
2,
то х
— любое действительное число; 3) если а
≠0, а
≠2 , то х
=
П р и ме р . Решим уравнение
(а
— 1) х
2
+2 (2а
+1) х
+(4а
+3) =0; (3)
Р е ш е н и е. В данном случае контрольным является значение a
=1. Дело в том, что при a
=1 уравнение (3) является линейным, а при а≠
1 оно квадратное (в этом и состоит качественное изменение уравнения). Значит, целесообразно рассмотреть уравнение (3) как семейство уравнений, получающихся из него при следующих значениях параметра: 1) а
=l; 2) а
≠1.
Рассмотрим эти случаи.
1) При a
=1 уравнение (3) примет вид бх
+7=0. Из этого
уравнения находим х= - .
2) Из множества значений параметра а≠
1 выделим те значения, при которых дискриминант уравнения (3) обращается в 0.
Дело в том, что если дискриминант D=0
при а=ао
,
то при переходе значения D
через точку ао
дискриминант может изменить знак (например, при а<ао
D< 0, а при а>ао
D>0). Вместе с этим при переходе через точку ао
меняется и число действительных корней квадратного уравнения (в нашем примере при а<ао
корней нет, так как D< 0, а при а>ао
D>0 уравнение имеет два корня). Значит, можно говорить о качественном изменении уравнения. Поэтому значения параметра, при которых обращается в 0 дискриминант квадратного уравнения, также относят к контрольным значениям.
Составим дискриминант уравнения (3):
=(2а+ l)2
— (а — 1) (4а+3). После упрощений получаем = 5а+4.
Из уравнения =0 находим а= —
второе контрольное значение параметра а.
При
этом если а
<
, то D <0; если a
≥
, , то D≥0.
a
≠ 1
Таким образом, осталось решить уравнение (3) в случае, когда а
<
и в случае, когда { a
≥
, a
≠ 1 }.
Если а
<
, то уравнение (3) не имеет действительных корней; если же
{ a
≥
, a ≠ 1 }, то находим
Ответ: 1) если а
<
, то корней нет ; 2) если а
= 1, то х = - ;
3) a
≥
, то
a
≠ 1
Дробно-рациональные уравнения с параметрами, сводящиеся к линейным.
Процесс решения дробных уравнений протекает по обычной схеме: дробное уравнение заменяется целым путем умножения обеих частей уравнения на общий знаменатель левой и правой его частей. После чего учащиеся решают известным им способом целое уравнение, исключая посторонние корни, т. е. числа, которые обращают общий знаменатель в нуль. В случае уравнений с параметрами эта задача более сложная. Здесь, чтобы исключить посторонние корни, требуется находить значение параметра, обращающее общий знаменатель в нуль, т. е. решать соответствующие уравнения относительно параметра.
П р и м ер . Решим уравнение
(4)
Р е ш е н и е. Значение а=0
является контрольным. При a
=0 уравнение (4) теряет смысл и, следовательно, не имеет корней. Если а≠0,
то после преобразований уравнение (4) примет вид:
х
2
+2 (1 — а
) х
+а
2
— 2а —
3=
0.
(5)
Найдем дискриминант уравнения (5)
= (1 — a
)2
— (a
2
— 2а
— 3) = 4.
Находим корни уравнения (5):
х
1
=а
+ 1, х
2
= а
— 3.
При переходе от уравнения (4) к уравнению (5) расширилась
область определения уравнения (4), что могло привести к появлению посторонних корней. Поэтому необходима проверка.
П р о в е р к а. Исключим из найденных значений х такие, при которых х
1
+1=0, х
1
+2=0, х
2
+1=0, х
2
+2=0.
Если х
1
+1=0, т. е. (а
+1)+1=0, то а= —
2. Таким образом, при а= — 2 х
1
— посторонний корень уравнения (4).
Если х
1
+2=0, т. е. (а
+1)+2=0, то а= —
3.
Таким образом, при а= —
3 x
1
— посторонний корень уравнения (4).
Если х
2
+1 =0, т. е. (а
— 3)+1=0, то а=
2.
Таким образом, при а=
2 х
2
— посторонний корень уравнения (4)'.
Если х
2
+2=0, т. е. (а
— 3)+2=0, то а
=1. Таким образом, при а=
1 х
2
— посторонний корень уравнения (4).
Для облегчения выписывания ответа сведем полученные результаты на рисунке .
только х
2
только х
2
корней нет только х
1
только х
1
х
1,2
х
1,2
х
1,2
х
1,2
х
1,2
х
1,2
-3 -2 0 1 2 а
В соответствии с этой иллюстрацией при а= — 3
получаем х
= — 3 — 3= — 6;
при a
= — 2 х
= — 2 — 3= — 5; при a
=1 х
= 1+1=2; при a=2 х
=2+1=3.
Итак, можно записать
От в ет: 1) если a
= — 3,
то х
= — 6; 2) если a
= — 2, то х
= — 5; 3) если a
=0, то корней нет; 4) если a
= l, то х
=2; 5) если а=2,
то х
=3;
6) если а
≠ -3 ;
а
≠ -2 ;
а
≠ 0 ; то х
1
= а
+ 1,
а
≠ 1 ; х
2
= а
– 3.
а
≠ 2,
Иррациональные уравнения с параметрами.
Существует несколько способов решения иррациональных уравнений с параметрами. Познакомимся с ними, разобрав следующий пример.
П р и м ер . Решить уравнение х
- = 1. (6)
Решение:
Возведем в квадрат обе части иррационального уравнения с последующей проверкой полученных решений.
Перепишем исходное уравнение в виде:
= х
– 1 (7)
При возведении в квадрат обеих частей исходного уравнения и проведения тождественных преобразований получим:
2 х
2
– 2х
+ (1 - а
) = 0, D
= 2а
– 1.
Особое значение : а
= 0,5. Отсюда :
1) при а
> 0,5 х
1,2
= 0,5 ( 1 ± );
2) при а
= 0,5 х
= 0,5 ;
3) при а
<0,5 уравнение не имеет решений.
Проверка:
1) при подстановке х
= 0,5 в уравнение (7), равносильное исходному, получим неверное равенство. Значит, х
= 0,5 не является решением (7) и уравнения (6).
2) при подстановке х1
= 0,5 ( 1 ± ) в (7) получим:
-0,5 ( 1 + ) = – ( 0,5 ( 1 - ))2
Так как левая часть равенства отрицательна, то х1
не удовлетворяет исходному уравнению.
3) Подставим х
2
в уравнение (7):
=
Проведя равносильные преобразования, получим:
Если , то можно возвести полученное равенство в квадрат:
Имеем истинное равенство при условии, что
Это условие выполняется, если а ≥1. Так как равенство истинно при а ≥1, а х2
может быть корнем уравнения (6) при а > 0,5, следовательно, х2
– корень уравнения при а ≥1.
Тригонометрические уравнения.
Большинство тригонометрических уравнений с параметрами сводится к решению простейших тригонометрических уравнений трех типов. При решении таких уравнений необходимо учитывать ограниченность тригонометрических функций у = sinx и y = cosx. Рассмотрим примеры.
Пример .
Решить уравнение: cos =2а
.
Решение:
Так как Е
(соst
)=[-1; 1], то имеем два случая.
1.
При |a
| > 0,5 уравнение не имеет решений.
2.
При |a
| ≤0,5 имеем:
а
)
=arccos2a+2πn. Так как уравнение имеет решение, если arccos2а
+2π
n
≥0, то n
может принимать значения n
=0, 1, 2, 3,.... Решением уравнения является х
= 1+(2π
n
+аrссоs2а
)2
б)
=-аrссоs2а
+πn
. Так как уравнение имеет решение при условии, что -аrссоs2а
+2πn
>0, то n
=1, 2, 3,..., и решение уравнения. х
=1+(2πn
-arccos2a
)2
.
Ответ: если |a
| > 0,5, решений нет;
если |a
| ≤0,5 , х
= 1+(2π
n
+аrссоs2а
)2
при n
= 0, 1, 2,... и х
=1+(2πn
-arccos2a
)2
при n N.
Пример .
Решить уравнение: tgax
2
=
Решение:
.
ах
2
= +π
n
, n
Z
Если коэффициент при неизвестном зависит от параметра, то появляется особое значение параметра. В данном случае:
1.
Если а
=0, то уравнение не имеет решений.
2.
Если а
0, то х
2
= , n
Z
Уравнение имеет решение, если ≥0. Выясним, при каких значениях n
и а
выполняется это условие:
≥0
откуда n
≥ и а
> 0 или n
≤ и а
< 0.
Итак, уравнение имеет решение
, если
1) а
> 0 и n
= 1,2,3,… или
2) а
< 0 и n
Z
.
Ответ: при а
= 0 решений нет;
при а
> 0 и n
= 1,2,3,… или а
< 0 и n
Z
х = ±
.
Пример. Решите уравнение: а
sinbx
= 1
Решение: Особое значение параметра а
: а
= 0.
1. При а
= 0 решений нет.
2. При а
0 sinbx
= . Имеем 2 случая:
2.1. Если > 1, то решений нет.
2.2. Если ≤ 1, то особое значение b
= 0:
2.2.1. Если b
= 0, то решений нет.
2.2.2. Если b
0, то х
=
Ответ: при а
= 0 или > 1 и а
0 или а
0 b
= 0 решений нет;
при а
0 и ≤ 1 и b
0 х
=
Показательные уравнения с параметрами.
Многие показательные уравнения с параметрами сводятся к элементарным показательным уравнениям вида а
f (
x)
= bφ(х
)
(*), где а
> 0, b
> 0.
Область допустимых значений такого уравнения находится как пересечение областей допустимых значений функций f(
x)
и φ (х).
Для решения уравнения (*) нужно рассмотреть следующие случаи:
1) При а
= b
= 1 решением уравнения (*) является область его допустимых значений D
.
2) При а
= 1, b
≠ 1 решением уравнения (*) служит решение уравнения φ(х)
= 0 на области допустимых значений D
.
3) При а
≠ 1, b
= 1 решение уравнения (*) находится как решение уравнения f(х)
= 0 на области D
.
4) При а
= b
(а
> 0, а
≠ 1, b
>0, b
≠ 1) уравнение (*) равносильно уравнению f(х)
= φ(х)
на области D
.
5) При а
≠ b
(а
> 0, а
≠ 1, b
>0, b
≠ 1) уравнение (*) тождественно уравнению
logc
a
f(
x)
= logc
b
φ(
x)
(c
> 0, c
≠ 1) на области D
.
Пример. Решите уравнение: а
х
+ 1
= b
3 – х
Решение. ОДЗ уравнения: х
R
, а
> 0, b
>0.
1) При а
≤ 0, b
≤ 0 уравнение не имеет смысла.
2) При а
= b
= 1, х
R.
3) При а
= 1, b
≠ 1 имеем: b
3 – х
= 1 или 3 – х
= 0 х
= 3.
4) При а
≠ 1, b
= 1 получим: а
х
+ 1
= 1 или х
+ 1 = 0 х
= -1.
5) При а
= b
(а
> 0, а
≠ 1, b
>0, b
≠ 1) имеем: х
+ 1 =3 – х
х
= 1.
6) При а
≠ b
(а
> 0, а
≠ 1, b
>0, b
≠ 1) прологарифмируем исходное уравнение
по основанию а,
получим:
, х
+ 1 = ( 3 – х
) loga
b
,
Ответ: при а
≤ 0, b
≤ 0 уравнение не имеет смысла;
при а
= b
= 1, х
R;
при а
= 1, b
≠ 1 х
= 3.
при а
≠ 1, b
= 1 х
= -1
при а
= b
(а
> 0, а
≠ 1, b
>0, b
≠ 1) х
= 1
при а
≠ b
(а
> 0, а
≠ 1, b
>0, b
≠ 1)
Логарифмические уравнения с параметром.
Решение логарифмических уравнений с параметрами сводится к нахождению корней элементарного логарифмического уравнения. Важным моментом решения уравнений такого типа является проверка принадлежности найденных корней ОДЗ исходного уравнения.
Пример. Решите уравнение 2 – log(1 + х
) = 3 logа
- log( х
2
– 1 )2
Решение. ОДЗ: х >
1, а
> 0, а
≠ 1.
Осуществим на ОДЗ цепочку равносильных преобразований исходного уравнения:
logа
а
2
+ log( х
2
- 1) = logа
()3
+ loga
,
logа
( а
2
(х
2
- 1)) = logа
(()3
),
а
2
(х
2
- 1) = (х
- 1) ,
а
2
(х
- 1) (х
+ 1) = (х
- 1)
Так как х
≠ -1 и х
≠ 1, сократим обе части уравнения на (х
- 1)
а
2
=
Возведем обе части полученного уравнения в квадрат:
а
4
(х
+ 1) = х
– 1 а
4
х
+ а
4
= х
– 1 х
( 1 - а
4
) = а
4
+ 1
Так как а
≠ -1 и а
≠ 1, то
Для того чтобы значения х
являлось решением уравнения, должно выполняться условие х
> 1, то есть
Выясним, при каких значениях параметра а
это неравенство истинно:
,
Так как а
> 0, то полученная дробь положительна, если 1 – а
4
> 0, то есть при
а
< 1.
Итак, при 0 < a
< 1, x
> 1, значит при 0 < a
< 1 х
является корнем исходного уравнения.
Ответ: при а
≤ 0, а
= 1 уравнение не имеет смысла;
при а
> 1 решений нет;
при 0 < a
< 1
ГЛАВА 2
§1. Разработка факультативных занятий по теме.
В общеобразовательных классах данная тема не берется в явном виде. Она рассматривается в заданиях более сложного характера. Например, при изучении темы "Квадратные уравнения", можно встретить следующие задания:
1) При каком р
уравнение х
2
– 2х
+ 1 = р
имеет один корень ?
2) При каких значениях параметра р
сумма корней квадратного уравнения
х
2
+ ( р
2
+ 4р
– 5 ) х
– р
= 0 равна нулю ?
В классах с углубленным изучением математики уравнения с параметрами целенаправленно начинают изучать с 8 класса. Именно в этот период вводится понятие "параметр". Основная задача – научить учащихся решать уравнения с одним параметром.
Ученики должны уяснить, что уравнения с параметром – это семейство уравнений, определяемых параметром. Отсюда и вытекает способ решения: в зависимости от структуры уравнения выделяются подмножества множества допустимых значений параметра и для каждого такого подмножества находится соответствующее множество корней уравнения. Нужно обратить внимание на запись ответа. В нем должно быть указано для каждого значения параметра (или множества его значений), сколько корней имеет это уравнение и какого вида.
На факультативных занятиях следует разобрать следующие виды задач:
1) на разрешимость: определить параметры, при которых задача имеет хотя бы одно решение или не имеет решений вовсе.
2) на разрешимость на множестве: определить все параметры, при которых задача имеет m решений на множестве М или не имеет решений на множестве М.
3) на исследование: для каждого параметра найти все решения заданной задачи.
Разработка факультативных занятий приведена в приложении. Структура следующая:
Занятие№1. Решение линейных и квадратных уравнений
с параметрами.
Занятие№2. Решение линейных и квадратных уравнений
с параметрами.
Занятие№3. Решение дробно-рациональных и иррациональных
уравнений с параметрами.
Занятие№4. Тест
Занятие№5. Решение тригонометрических уравнений
с параметрами.
Занятие№6. Решение тригонометрических уравнений
с параметрами.
Занятие№7. Решение показательных и логарифмических
уравнений с параметрами.
Занятие№8. Тест
Занятие№1
Занятие№2
Занятие №3
Занятие № 4.
Вариант I.
Решите уравнение k(x - 4) + 2 ( х + 1) = 1 относительно х.
а) при k=-2 корней нет; при k=-2 ;
б) при k-2 корней нет; при k=-2 ;
в) при k=-2 корней нет; при k=-2 и k=0,25 .
Решите уравнение 2а( а - 2)х = а2
– 5а+6 относительно х
а) при а=2 х R ; при а=0 корней нет; при а0 и а2 ;
б) при а=2 х R ; при а=0 корней нет; при а0 и а2 ;
в) при а=2 х R ; при а=0 корней нет; при а0 и а2 .
При каких значениях b уравнение 1+2х – bx = 4+х имеет отрицательное решение.
а) b<1 ; б) b>1 ; в) b=1
При каких значениях а парабола у = ах2
– 2х +25 касается оси х?
а) а=25 ; б) а=0 и а= 0,04 ; в) а=0,04.
При каких значениях k уравнение (k - 2)x2
= (4 – 2k)x+3 = 0 имеет единственное решение?
а) k=-5, k= -2 ; б) k=5 ; в) k=5, k= 2 .
Решите относительно х уравнение
а)при b+1, b; при b= реш.нет; при b=±1 нет смысла;
б)при b; при b= реш.нет; при b=±1 нет смысла;
в)при b=; при b=±1 нет смысла.
При каких значениях параметра а уравнение имеет решение
а) а≥ 3 ; б) а=4 ; в) а≥ 0
При каких значениях а уравнение имеет 2 корня?
а) –0,25≤а≤ 0 ; б) –0,25<а≤ 0 ; в) –0,25<а< 0
При каких значениях параметра с уравнение имеет 2 корня?
а) с( - ∞ ; -1,5√3)U(1.5√3; + ∞); б) при с = ±1,5√3; в) с( - ∞ ; -1,5√3)
Вариант II.
Решите уравнение 2х( а+1)= 3а(х+1)+7 относительно х.
а) при а=-2 корней нет; при а-2 ;
б) при а-2 корней нет; при а=-2 ;
в) при а-2 и а- корней нет; при а=-2 .
Решите уравнение (а 2
- 81)х = а2
+ 7а - 18 относительно х
а) при а=-9 х R ; при а=9 корней нет; при а-9 и а9 ;
б) при а=9 х R ; при а=-9 корней нет; при а-9 и а9 ;
в) при а= -9 х R ; при а=9 корней нет; при а-9 ;
При каких значениях b уравнение 2+4х-bx=3+х имеет отрицательное решение?
а) b<3 ; б) b<2 ; в) b>3
При каких значениях k уравнение kx2
– (k - 7)x + 9 =0 имеет два равных положительных корня?
а) k=49, k= 1 ; б) k=1 ; в) k=49 .
При каких значениях а уравнение ax2
- 6x+а = 0 имеет два различных корня?
а) а( - 3 ; 0)U(0; 3 ); б) при а( - 3 ; 3) ; в) с( - ∞ ; - 3)U ( 3 ; +∞)
Решите относительно х уравнение
а)при а1,а2,25, а-0,4, ; а=2,25, а=-0,4,реш.нет; при а=1 нет смысла;
б) при а2,25, а-0,4, ; а=2,25, а=-0,4,реш.нет; при а=1 нет смысла;
в) при а1, а-0,4, ; а=-0,4,реш.нет; при а=1 нет смысла.
При каких значениях параметра а уравнение имеет решение ?
а) а≥ 2/3 ; б) а≥ 2/3 √6 ; в) а≤ 2/3 √6
При каких значениях а уравнение имеет 2 корня?
а) а≥ 0 ; б) ни при каких ; в) а≥ 1
При каких значениях параметра с уравнение имеет 2 корня?
а) с( - ∞ ; -1,5√3)U(1.5√3; + ∞); б) при с = ±1,5√3; в) с( - ∞ ; -1,5√3)
Занятие №5-6
Занятие №7
Занятие №8.
Вариант I.
Решите уравнение 3 cosx = 4b
+ 1 для всех значений параметра.
а) при b
( -1; 0,5 ) х
= ± arcos; при b
(-∞;-1]U[0,5;+∞) реш.нет;
б) приb
[ -1; 0,5 ] х
= ± arcos; при b
(-∞;-1)U(0,5;+∞) реш.нет;
в)b
(-∞;-1]U[0,5;+∞) х
= ± arcos; b
( -1; 0,5 ) при реш.нет;
Найдите все действительные значения параметра а
, при которых уравнение sin2
x
– 3sinx
+ a
=0.
а) a
[ -4; 2 ] ; б) а
( -4 ; 2) ; в) а
[ - 4; 2 ).
При каких значениях а
уравнение cos4
x
+ sin4
x
= a
имеет корни?
а) a
[ 0,5; 1 ] ; б) а
[ -1 ; 0,5 ] ; в) а
[ - 0,5; 1 ).
Решите уравнение
а) при а
≤ 0 х
R ; при а
> 0, а
1 х
= 2; при а
= 1 не имеет смысла.
б) при а
> 0 х
R ; при а
= 1 х
= 2; при а
≤ 0 не имеет смысла.
в) при а
= 1 х
R ; при а
> 0, а
1 х
= 2; при а
≤ 0 не имеет смысла.
При каких значениях параметра уравнение 4х
– а
2х
+1
– 3а
2
+ 4а
= 0 имеет единственное решение?
а) 2; б) 1 ; в) -1.
Решите уравнение loga
x
2
+ 2 loga
( x
+ 2) = 1.
а) при а
≤ 1 х
= 0,5( 2+ ) ; при а
=100 х
= 1.
б) при а
> 100 реш. нет; при 1<a
<100 х
= 0,5( 2+ ); при а
=100 х
= 1;
при а
≤ 1 не имеет смысла .
в) при а
> 100 реш.нет ; при 1<a
<100 х
= 0,5( 2+ ) ;
при а
≤ 1 не имеет смысла .
7. Найдите все значения параметра, для которых данное уравнение имеет только один корень 1+ log2
(ax
) = 2 log2
(1 - x
)
а) а
> 0, а
= 2 ; б) а
> 0, а
= - 2 ; в) а
< 0, а
= - 2 .
Решите уравнение а > 0, а
1
а) а
; ; б) а2
; - ; в ) а2
;
Вариант II.
Решите уравнение cos (3x
+1 ) = b
для всех значений параметра.
а) при |b
| ≤ 1 х
= ; при |b
| > 1 реш.нет;
б) при |b
| ≤ 1 и b
=0 х
= ; при |b
| > 1 реш.нет;
в)при |b
| > 1 х
= ; при |b
| < 1 реш.нет;
Найдите все действительные значения параметра а
, при которых уравнение cos2 x
+ a
sinx
=2 a
-7.
а) a
( 2 ; 6 ) ; б) а
( 2 ; 4 ] ; в) а
[ 2 ; 6 ].
При каких значениях а
уравнение cos6
x
+ sin6
x
= a
имеет корни?
а) a
[ 0,25; 0,5 ] ; б) а
[ 0,25 ; 1 ] ; в) а
[ - 0,25; 1 ].
Решите уравнение
а) при а
≤ 0 х
R ; при а
> 0, х
= 1; при а
= 1 не имеет смысла.
б) при а
= 1 х
R ; при а
> 0, а
1 х
= 1; при а
≤ 0 не имеет смысла.
в) при а
> 0х
R ; при а
= 1 , х
= 1; при а
≤ 0 не имеет смысла.
При каких значениях параметра уравнение а(
2х
+ 2-х
) = 5 имеет единственное решение?
а) -2,5; 2,5 ; б) 2; 2,5 ; в) –2,5.
Решите уравнение 3 lg (x
– а
) - 10 lg ( x
- а
)+1 = 0.
а) х
= а
+ 1000, х
= а
+ 3
√10 ;
б) х
= а
- 3
√10 , х
= а
–1000 ;
в) х
= а
- 3
√10 , х
= а
+ 1000 .
7. Найдите все значения параметра, для которых данное уравнение имеет только один корень
а) 4 ; б) -
4 ; в) - 2 .
Решите уравнение а > 0, а
1
а) -1 ; а
; б) 1 ; - а
; в ) 1 ; а
Заключение.
При решении приведенных выше задач с параметрами происходит повторение и, как следствие, более глубокое прочное усвоение программных вопросов. Ученики расширяют свой математический кругозор, тренируют мышцы интеллекта, при этом происходит развитие математического, логического мышления, умения анализировать, сравнивать и обобщать. Решение задач с параметрами на факультативных занятиях это помощь при подготовке к экзаменам. Происходит формирование таких качеств личности, как трудолюбие, целеустремленность, усидчивость, сила воли и точность.
Литература.
С.И. Новоселов. Специальный курс элементарной алгебры. Москва-1962.
Е.Ю. Никонов. Параметр. Самара – 1998.
Еженедельная учебно-методическая газета "Математика" №36/2001; №4/2002; №22/2002; №23/2002; №33/2002.