Содержание работы:
1. Формулировка и доказательство теоремы Штольца.
2. Применение теоремы Штольца:
a) ;
b) нахождение предела “среднего арифметического” первых n значений варианты ;
c) ;
d) .
3. Применение теоремы Штольца к нахождению некоторых пределов отношения последовательностей.
4. Нахождение некоторых пределов отношения функций с помощью теоремы Штольца.
Для определения пределов неопределенных выражений типа часто бывает полезна следующая теорема, принадлежащая Штольцу.
Пусть варианта , причем – хотя бы начиная с некоторого листа – с возрастанием n и возрастает: . Тогда =,
Если только существует предел справа (конечный или даже бесконечный).
Допустим, что этот предел равен конечному числу :
.
Тогда по любому заданному найдется такой номер N, что для n>N будет
или
.
Значит, какое бы n>N ни взять, все дроби , , …, , лежат между этими границами. Так как знаменатели их, ввиду возрастания yn
вместе с номером n, положительны, то между теми же границами содержится и дробь, числитель которой есть сумма всех числителей, написанных выше дробей, а знаменатель – сумма всех знаменателей. Итак, при n>N
.
Напишем теперь тождество:
,
откуда
.
Второе слагаемое справа при n>N становится <; первое же слагаемое, ввиду того, что , также будет <, скажем, для n>N’
. Если при этом взять N’
>N, то для n>N’
, очевидно, , что и доказывает наше утверждение.
Примеры:
1. Пусть, например, . Отсюда, прежде всего вытекает, что (для достаточно больших n) , следовательно, вместе с yn
и xn
, причем варианта xn
возрастает с возрастанием номера n. В таком случае, доказанную теорему можно применить к обратному
отношению
(ибо здесь предел уже конечен
), откуда и следует, что , что и требовалось доказать.
2. При а>1
Этот результат с помощью теоремы Штольца получается сразу:
3. Применим теорему Штольца к доказательству следующего интересного предложения:
Если варианта an
имеет предел (конечный или бесконечный), то этот же предел имеет и варианта
(“среднее арифметическое” первых n значений варианты аn
).
Действительно, полагая в теореме Штольца
Xn
=a1
+a2
+…+an,
yn
=n,
Имеем:
Например, если мы знаем, что ,
то и
4. Рассмотрим теперь варианту (считая k-натуральным)
,
которая представляет неопределённость вида .
Полагая в теореме Штольца
xn
=1k
+2k
+…+nk
, yn
=n
,
будем иметь
.
Но
(n-1)k+1
=nk+1
-(k+1)nk
+… ,
так что
nk+1
-(n-1)k+1
=(k+1)nk
+…
и
.
5. Определим предел варианты
,
представляющей в первой форме неопределенность вида , а во второй – вида . Произведя вычитание дробей, получим на этот раз неопределенное выражение вида :
.
Полагая xn
равным числителю этой дроби, а yn
– знаменателю, применим еще раз ту же теорему. Получим
.
Но ,
а ,
так что, окончательно,
.
Пример 1.
====== ===.
Пример 2.
=
==
==
==
==
==
=.
Пример 3.
=
=.
Теорема Штольца справедлива для последовательностей, но т.к. последовательности есть частный случай функций, то эту теорему можно обобщить для функций.
Теорема.
Пусть функция , причем, начиная с некоторой xk
, g(xk
+1)>g(xk
), т.е. функция возрастающая.
Тогда,
если только существует предел справа конечный или бесконечный.
Доказательство:
Допустим, что этот предел равен конечному числу k
.
Тогда, по определению предела
или
.
Значит, какой бы ни взять, все дроби
, , …,
лежат между этими границами. Так как знаменатели их, ввиду возрастания g(xn
) вместе с x(n), положительны, то между теми же границами содержится и дробь , числитель которой есть сумма всех числителей, написанных выше дробей, а знаменатель – сумма всех знаменателей. Итак, при
.
Напишем тождество(которое легко проверить):
,
Откуда
.
Второе слагаемое справа при становится ; первое же слагаемое, ввиду того, что , так же будет , скажем, для . Если при этом взять , то для , очевидно , что и доказывает теорему.
Примеры:
Найти следующие пределы:
1. очевидна неопределенность
===2
2. неопределенность
====0
3. неопределенность
===
Литература:
1. “Задачи и упражнения по математическому анализу” под редакцией Б.П.Демидовича. Издательство “Наука”, Москва 1996г.
2. Г.М.Фихтенгольц “Курс дифференциального и интегрального исчисления” Физматгиз 1962г. Москва.