Доказательство сильной гипотезы Гольдбаха-Эйлера

©
Н.М. Козий, 2008, [UA]

Свидетельство Украины № 25256

о регистрации авторского права

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО СИЛЬНОЙ ГИПОТЕЗЫ ГОЛЬДБАХА-ЭЙЛЕРА

Сильная гипотеза Гольдбаха-Эйлера формулируется следующим образом: любое четное число, большее двух, равно сумме двух простых чисел:

N
=
A
+
B
,

где: А
и В
– простые числа.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

Напишем арифметическую прогрессию: Р = [ 1, 2, 3, 4, 5… N]

Очевидно, что:

- количество членов прогрессии равно N;

- количество четных и нечетных членов прогрессии одинаково и равно:

n = 0, 5 N.

Напишем возрастающую V
и убывающуюU
арифметические прогрессии из нечетных чисел прогрессии Р
для случая, когда n
– четное число:

V = [ 1, 3, 5, 7 … 0,5N-1, 0,5N +1… N-3, N-1]

U = [ N-1, N-3 … 0,5N +1, 0,5N-1 … 7, 5, 3, 1]

Очевидно, что часть прогрессии U
:

U1
= [ N-1, N-3 … 0,5N +1]

представляет собой зеркальное расположение членов прогрессии V
:

V1
=[ 0,5N +1… N-3, N-1],

а часть прогрессии U
:

U2
= [ 0,5N-1 … 7, 5, 3, 1]

представляет собой зеркальное расположение членов прогрессии V
:

V2
= [ 1, 3, 5, 7 … 0,5N-1].

Исходя из этого для числа N
при n
– четном запишем:

V0
= [ 1, 3, 5, 7 … 0,5N-1]

U0
= [ 0,5N-1 … 7, 5, 3, 1].

Приэтом:

V0i
+ U0i
= N,

где V
0

i

и U
0

i

-
i
–
тые члены прогрессий V
0

иU
0

.

Приn
– четном количество членов прогрессии V
0

равно количеству членовпрогрессииU
0

и равно:

K
= 0,5∙n
= 0,25·
N
. /1/

Напишем возрастающую V
и убывающуюU
арифметические прогрессии из нечетных чисел прогрессии Р
для случая, когда n
– нечетное число:

V = [1, 3, 5, 7 … 0,5N… N-3, N-1]

U = [N-1, N-3 … 0,5N … 7, 5, 3, 1]

Очевидно, что часть прогрессии U
:

U3
= [N-1, N-3 … 0,5N]

представляет собой зеркальное расположение членов прогрессии V
:

V3
= [0,5 … N-3, N-1],

а часть прогрессии U
:

U4
= [0,5N … 7, 5, 3, 1]

представляет собой зеркальное расположение членов прогрессии V
:

V4
= [1, 3, 5, 7 … 0,5N].

Исходя из этого для числа N
при n
– нечетном запишем:

V0
= [ 1, 3, 5, 7 … 0,5N]

U0
= [ 0,5N … 7, 5, 3, 1].

Приэтом:

V0i
+ U0i
= N,

где V
0

i

и U
0

i

-
i
–
тые члены прогрессий V
0

иU
0

.

Приn
–нечетном количество членов прогрессии V
0

равно количеству членовпрогрессииU
0

и равно:

К
=0,5·(
n
+1) = 0,25·(
N
+ 2). /2/

Количество пар чисел V
0

i

+
U
0

i

прогрессий V
0

иU
0

равно: П =К.

В общем случае обозначим:

Zpv

–
количество простых чисел в прогрессии V
0

;

Zsv

--
количество составных чисел в прогрессииV
0

;

Zpu

--
количество простых чисел в прогрессии U
0

;

Zsu

--
количество составных чисел в прогрессии U
0

;

П
s

/

v

– количество пар чисел V
0

i

+
U
0

i

, состоящих из составных чисел прогрессии U
0

и простыхчисел прогрессииV
0

;

П
s

/

u

– количество пар чисел V
0

i

+
U
0

i

, состоящих из составных чисел прогрессии V
0

и простыхчисел прогрессии U
0

;

Пр
--
количество пар чисел V
0

i

+
U
0

i

, состоящих из простыхчисел прогрессий V
0

иU
0

.

Очевидно, что:

П
=
К
= Zpv
+ Zsv
= Zpu
+ Zsu
; /3/

Zsv
= K - Zpv
; Zsu
= K - Zpu

.

Из анализа значений числа N
с использованием таблицы простых чисел следует:

-для чисел N
≤ 116
: Zpv

>
Zsu

;
Zpu

>
Zsv

;

-
для чисел N
= 118…136:
Zpv

=
Zsu

;
Zpu

=
Zsv

;

-
для чисел N
≥138:
Zpv

<
Zsu

;
Zpu

<
Zsv

.

Составим прогрессии V
0

иU
0

для произвольно взятых чисел N
,
разделим их на подпрогрессии, установим значения величин Zpv

,
Zsv

,
Zpu

,
Zsu

,

П
s

/

v

, П
s

/

u

, Пр

и соотношения между ними как для прогрессий V
0

иU
0

в целом, так и для входящих в них подпрогрессий.

ПРИМЕР 1.
N
=120;
n
=0,5
N
=0,5·120 = 60 –
четное число.

В соответствии с зависимостями /1/ и /3/ количество пар чисел V
0

i

+
U
0

i

равно:

П = К = 0,25·
N
=0,25∙120 =30.

V
0

={
V
01

=[ 1 3 5 7

9 11 13

] V
02

=[
15 17 19

21 23

] V
03

=[
25 27]

U
0

={
U
01

= [119 117 115
113

111 109

107

] U
02

=[105 103

101

99 97

] U
03

=[
95 93]

Пр

* * * * * *

V04
= [ 29 31

] V05
= [
33 35 ] V06
= [ 37

39 41 43

45 47

] V07
= [
49 51 53

]

U04
= [
91 89

] U05
= [
87 85 ] U06
= [ 83

81 79

77 75 73

] U07
= [ 71

69 67

]

Пр
* * * * *

V
08

= [
55 57 59

] }.

U
08

= [
65 63 61

] }.

Пр
*

Простые числа набраны жирным шрифтом курсивом.

*- пары простых чисел.

Для прогрессий V
0

и U
0

в целом имеем:

Zpv
=17, Zsv
=13, Zpv
= Zsu
, Пs
/
v
=5, Пs
/
v
≠Пs
/
u
,

Zpu
=13, Zsu
=17, Zpu
= Zsv
, Пs
/
u
=1, Пр
= 12.

Определим разности:

Rv
= Zpv
- Пs
/
v
= 17 – 5 = 12;

Ru
= Zpu
- Пs
/
u
= 13 – 1 = 12.

Из сравнительного анализа величин Rv
, Ru
и Пр
следует:

Rv
=Ru
=Пр
= 12.

Для подпрогрессий V
01

иU
01

имеем:

Zpv
=6, Zsv
=1, Zpv
> Zsu
, Пs
/
v
=3, Пs
/
v
≠Пs
/
u
,

Zpu
=3, Zsu
=4, Zpu
> Zsv
, Пs
/
u
=0, Пр
= 3.

Определим разности:

Rv
= Zpv
- Пs
/
v
= 6 – 3 = 3; Ru
= Zpu
- Пs
/
u
= 3 – 0 = 3.

Из сравнительного анализа величин Rv
, Ru
и Пр
следует: Rv
= Ru
= Пр
= 3.

Для подпрогрессий V
02

иU
02

имеем:

Zpv
=3, Zsv
=2, Zpv
> Zsu
, Пs
/
v
=0, Пs
/
v
=Пs
/
u
= 0,

Zpu
=3, Zsu
=2, Zpu
> Zsv
, Пs
/
u
=0, Пр
= 3.

Определим разности:

Rv
= Zpv
- Пs
/
v
= 3 – 0 = 3; Ru
= Zpu
- Пs
/
u
= 3 – 0 = 3.

Из сравнительного анализа величин Rv
, Ru
и Пр
следует: Rv
= Ru
= Пр
= 3.

Для подпрогрессий V
04

иU
04

имеем:

Zpv
=2, Zsv
=0, Zpv
> Zsu
, Пs
/
v
=1, Пs
/
v
≠Пs
/
u
,

Zpu
=1, Zsu
=1, Zpu
> Zsv
, Пs
/
u
=0, Пр
= 1.

Определим разности:

Rv
= Zpv
- Пs
/
v
= 2 – 1 = 1; Ru
= Zpu
- Пs
/
u
= 1 – 0 = 1.

Из сравнительного анализа величин Rv
, Ru
и Пр
следует: Rv
= Ru
= Пр
= 1.

Для подпрогрессий V
06

иU
06

имеем:

Zpv
=4, Zsv
=2, Zpv
> Zsu
, Пs
/
v
=1, Пs
/
v
≠Пs
/
u
,

Zpu
=3, Zsu
=3, Zpu
> Zsv
, Пs
/
u
=0, Пр
= 3.

Определим разности:

Rv
= Zpv
- Пs
/
v
= 4 – 1 = 3; Ru
= Zpu
- Пs
/
u
= 3 – 0 = 3.

Из сравнительного анализа величин Rv
, Ru

и Пр
следует: Rv
= Ru
= Пр
= 3.

Для подпрогрессий V
07

иU
07

имеем:

Zpv
=1, Zsv
=2, Zpv
= Zsu
, Пs
/
v
=0, Пs
/
v
≠Пs
/
u
,

Zpu
=2, Zsu
=1, Zpu
= Zsv
, Пs
/
u
=1, Пр
= 1.

Определим разности:

Rv
= Zpv
- Пs
/
v
= 1 – 0 = 1; Ru
= Zpu
- Пs
/
u
= 2 – 1 = 1.

Из сравнительного анализа величин Rv
, Ru
и Пр
следует: Rv
= Ru
= Пр
= 1.

Для подпрогрессий V
08

иU
08

имеем:

Zpv
=1, Zsv
=2, Zpv
< Zsu
, Пs
/
v
=0, Пs
/
v
=Пs
/
u
= 0,

Zpu
=1, Zsu
=2, Zpu
< Zsv
, Пs
/
u
=0, Пр
= 1.

Определим разности:

Rv
= Zpv
- Пs
/
v
= 1 – 0 = 1; Ru
= Zpu
- Пs
/
u
= 1 – 0 = 1.

Из сравнительного анализа величин Rv
, Ru
и Пр
следует: Rv
= Ru
= Пр
= 1.

ПРИМЕР 2.
N
=154;
n
=0,5
N
=0,5·154= 77 –
нечетное число.

В соответствии с зависимостями /2/ и /3/ количество пар чисел V
0

i

+
U
0

i

равно:

П = К
=0,5(
n
+1) = 0,25(
N
+ 2) = 0,25 (154 + 2) = 39.

V
0

=
{V
01

= [ 1 3 5 7

9 ] V
02

=
[ 11 13

15 17 19

21 23

] »

U
0

={
U
01

=
[153 151

149

147 145] U
02

=
[143 141 139 137

135 133 131

] »

Пр
* * * *

V
03

=[ 25 27 29 31

33 35 37

39] V
04

=
[ 41 43

45 47

49 51 53

]

U
03

=
[129 127

125 123 121 119 117 115] U
04

=[113

111 109

107

105103

101

]

Пр
* * *

» V
05

=
[55 57 59 61

63 65 67

69] V
06

=
[ 71 73

] V
07

=
[ 75 77 ] }.

» U
05

=
[99 97

95 93 91 89

87 85] U
06

= [ 83

81 ] U
07

=
[ 79

77 ] }.

Пр
*

Простые числа набраны жирным шрифтом курсивом.

*- пары простых чисел.

Для прогрессий V
0

и U
0

в целом имеем:

Zpv
=21, Zsv
=18, Zpv
< Zsu
, Пs
/
v
=13, Пs
/
v
≠Пs
/
u
,

Zpu
=15, Zsu
=24, Zpu
< Zsv
, Пs
/
u
=7, Пр
= 8.

Определим разности:

Rv
= Zpv
- Пs
/
v
= 21 – 13 = 8; Ru
= Zpu
- Пs
/
u
= 15 – 7 = 8.

Из сравнительного анализа величин Rv
, Ru
и Пр
следует: Rv
= Ru
= Пр
= 8.

Для подпрогрессий V
01

иU
01

имеем:

Zpv
=4, Zsv
=1, Zpv
> Zsu
, Пs
/
v
=2, Пs
/
v
≠Пs
/
u
,

Zpu
=2, Zsu
=3, Zpu
> Zsv
, Пs
/
u
=0, Пр
= 2.

Определим разности:

Rv
= Zpv
- Пs
/
v
= 4 – 2 = 2; Ru
= Zpu
- Пs
/
u
= 2 – 0 = 2.

Из сравнительного анализа величин Rv
, Ru
и Пр
следует: Rv
= Ru
= Пр
= 2.

Для подпрогрессий V
02

иU
02

имеем:

Zpv
=5, Zsv
=2, Zpv
> Zsu
, Пs
/
v
=3, Пs
/
v
≠Пs
/
u
,

Zpu
=3, Zsu
=1, Zpu
> Zsv
, Пs
/
u
=1, Пр
= 2.

Определим разности:

Rv
= Zpv
- Пs
/
v
= 5 – 3 = 2; Ru
= Zpu
- Пs
/
u
= 3 – 1= 2.

Из сравнительного анализа величин Rv
, Ru
и Пр
следует: Rv
= Ru
= Пр
= 2.

Для подпрогрессий V
04

иU
04

имеем:

Zpv
=4, Zsv
=3, Zpv
> Zsu
, Пs
/
v
=1, Пs
/
v
≠Пs
/
u
,

Zpu
=5, Zsu
=2, Zpu
> Zsv
, Пs
/
u
=2, Пр
= 3.

Определим разности:

Rv
= Zpv
- Пs
/
v
= 4 – 1 = 3;

Ru
= Zpu
- Пs
/
u
= 5 – 2 = 3.

Из сравнительного анализа величин Rv
, Ru
и Пр
следует: Rv
= Ru
= Пр
= 3.

Для подпрогрессий V
06

иU
06

имеем:

Zpv
=2, Zsv
=0, Zpv
> Zsu
, Пs
/
v
=1, Пs
/
v
≠Пs
/
u
,

Zpu
=1, Zsu
=1, Zpu
> Zsv
, Пs
/
u
=0, Пр
= 1.

Определим разности:

Rv
= Zpv
- Пs
/
v
= 2 – 1 = 1; Ru
= Zpu
- Пs
/
u
= 1 – 0 = 1.

Из сравнительного анализа величин Rv
, Ru
и Пр
следует: Rv
= Ru
= Пр
= 1.

Из анализа приведенных прогрессий и входящих в их состав подпрогрессий следуют определенные варианты сочетаний величин Zpv

,
Zsv

,
Zpu

,
Zsu

,

П
s

/

v

, П
s

/

u

,
при которых прогрессии и входящие в них подпрогрессии содержат пары простых чисел V
0

i

+
U
0

i

, удовлетворяющие условию:

V
0

i

+
U
0

i

=
N
:

Вариант 1:
Zpv
=Zpu
, Zsv
=Zsu
, Zpv
>Zsu
, Zpu
>Zsv
, Пs
/
v
=Пs
/
u
= 0 (подпрогрессия V02
-U02
для числа N =120);

Вариант 2:
Zpv
=Zpu
, Zsv
=Zsu
, Zpv
<Zsu
, Zpu
<Zsv
, Пs
/
v
= Пs
/
u
= 0 (
подпрогрессияV08
-U08
для числа N =120);

Вариант 3:
Zpv
>Zpu
, Zsv
<Zsu
, Zpv
>Zsu
, Zpu
>Zsv
, Пs
/
v
>Пs
/
u
(
подпрогрессии V01
-U01
, V04
-U04
, V06
-U06
для числа N =120 и подпрогрессии V01
-U01
, V06
-U06
для числа 154);

Вариант 4:
Zpv
>Zpu
, Zsv
<Zsu
, Zpv
=Zsu
, Zpu
=Zsv
, Пs
/
v
>Пs
/
u
(прогрессия V0
-U0
для числа N =120);

Вариант 5:
Zpv
>Zpu
, Zsv
>Zsu
, Zpv
>Zsu
, Zpu
>Zsv
, Пs
/
v
>Пs
/
u
(подпрогрессия V02
-U02
для числа N =154);

Вариант 6:
Zpv
<Zpu
, Zsv
>Zsu
, Zpv
=Zsu
, Zpu
=Zsv
, Пs
/
v
<Пs
/
u
(подпрогрессия V07
-U07
для числа N =120);

Вариант 7:
Zpv
<Zpu
, Zsv
>Zsu
, Zpv
>Zsu
, Zpu
>Zsv
, Пs
/
v
<Пs
/
u
(подпрогрессия V04
-U04
для числа N =154);

Вариант 8:
Zpv
>Zpu
, Zsv
<Zsu
, Zpv
<Zsu
, Zpu
<Zsv
, Пs
/
v
>Пs
/
u
(прогрессия V0
-U0
для числа N =154).

В рассмотренных вариантах преобладает вариант 3 (в 5 из 12 подпрогрессий). Вероятно, что возможны и другие варианты сочетаний величин Zpv

,
Zsv

,
Zpu

,
Zsu

,

П
s

/

v

, П
s

/

u

.

Значения количества пар П
p

простых чисел для некоторых четных чисел N
(количества П
p

приведены в скобках рядом с числами N
):

80(5), 82(5), 84(8), 86(5), 88(4), 90(10), 120(12), 138(5), 150(13), 154(8), 180(15), 184(8), 222(11), 226(7), 228(13), 336(19), 644(17), 1000(28), 1312(22).

Из анализа приведенных данных следует, что строгой зависимости между значениями четных чисел N
и количеством пар П
p

простых чисел для них не существует, но прослеживается закономерность, в соответствии с которой с существенным увеличением значений числа N
увеличивается количество пар П
p

для них.

Из изложенного следует, что любое четное число N
>4
равно сумме двух и более пар П
p

простых чисел при условии, что эти числа могут быть равны. Примеры:

6=1+5=3+3; 8=1+7=3+5; 10=3+7=5+5; 12=1+11=5+7; 14=1+13=3+11=7+7.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО СЛАБОЙ
ГИПОТЕЗЫ ГОЛЬДБАХА

Слабая гипотеза Гольдбаха формулируется следующим образом: любое нечетное число М
, большее семи, представимо в виде суммы трех нечетных простых чисел:

М =
A
+
B
+
C
,

где: A, Bи C – простые числа.

При этом:

A
≠
B
≠ С

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

Обозначим:

A + B =N.

Очевидно, что N – четное число.

Тогда:

M = N + C.

Отсюда:

N = M – C.

Вычтя из любого нечетного числа простое число, получим четное число. Выше при доказательстве сильной гипотезы Гольдбаха-Эйлера доказано, что любое четное число, большее двух, равно сумме одной пары или нескольких пар простых чисел. Следовательно, любое нечетное число М, большее семи, равно:

M
=
N
+
C
=
A
+
B
+ С,

где: A
,
B
и C
– простые числа.

При этом:

A
≠
B
≠ С

Автор: Козий Николай Михайлович, инженер-механик

E-mail: nik_krm@mail.ru

umbolic@gmail.com