МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ВЯТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Математический факультет
Кафедра алгебры и геометрии
Выпускная квалификационная работа
Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа
Выполнил
студент 5 курса
математического факультета
Чупраков Дмитрий Вячеславович
_____________________/подпись/
Научный руководитель:
д.ф-м.н., профессор Е.М. Вечтомов
_____________________/подпись/
Рецензент:
к.ф-м.н., доцент В.В. Чермных
_____________________/подпись/
Допущена к защите в ГАК
Зав. кафедрой ______________________д.ф-м.н., профессор Е.М. Вечтомов
(подпись) “__” _________
Декан факультета _____________________к.ф-м.н., доцент В.И. Варанкина
(подпись) “__” _________
Киров
2005
Содержание
Содержание. 2
Введение. 3
Глава 1. 5
1.1. Базовые понятия и факты.. 5
1.2. Простое расширение Q
+
(a
) 5
1.3. Минимальное соотношение алгебраического элемента над полуполем рациональных неотрицательных чисел. 7
Глава 2. Однопорожденные полуполя. 9
2.1. Структура простого расширения полуполя неотрицательных рациональных чисел. 9
2.2. Расширения полуполя неотрицательных действительных чисел комплексным числом. 11
2.3. Расширения полуполя неотрицательных рациональных чисел комплексным числом. 12
2.4. Примеры.. 20
Литература. 22
Введение
Теория полуполей – одно из интенсивно развивающихся разделов общей алгебры, являющейся обобщением теории полей. Одним из основных способов исследования полей является построение их расширений. Поэтому естественно исследовать расширения полуполей. Эта проблема освещена в статье А.В.Ряттель [3] и диссертации И.И.Богданова. Но в них рассматриваются случаи упорядочиваемых расширений. Интересно рассмотреть неупорядочиваемые расширения. Этому вопросу посвящена данная квалификационная работа
Целью квалификационной работы является исследование однопорожденных расширений полуполей неотрицательных рациональных чисел и неотрицателных действительных чисел комплексным числом на предмет выявления признаков и свойств, позволяющих упростить поиск расширений, являющихся полуполями.
Выпускная квалификационная работа состоит из двух глав. В главе 1 представлены предварительные сведения, необходимые для изучения однопорожденных расширений полуполей. Глава 2 посвящена исследованию однопорожденных расширений полуполей.
В работе принята сквозная тройная нумерация теорем и лемм, где первое число – номер главы, второе – номер параграфа, третье – номер в параграфе. Например, теорема 2.1.1 – первая теорема первого параграфа второй главы.
Основными результатами работы являются:
· Теорема 2.2.1.
Любое расширение , где , является полем С
.
· Теорема 2.3.1.
Если
, то
– поле тогда и только тогда, когда
Q
+
(-
a
2
) – поле,
позволяющая выявлять полуполя вида .
· Теорема 2.3.6.
Если минимальный многочлен
f
-
g
порождает полуполе то, он либо имеет положительный действительный корень, либо корень , такой что и последовательность (**), заданная числами
p
и
q
, не содержит отрицательных элементов.
Последовательность задается следующим образом:
Эта теорема помогает сократить область поиска расширений, являющихся полуполями.
· Теорема 2.3.7.
Для комплексных чисел расширение
, минимальное соотношение которого имеет положительный корень, является полуполем.
Глава 1.
1.1. Базовые понятия и факты
Определение:
Алгебра <P, +, ×> называется полуполем
, если
(1) <Р, +> – коммутативная полугруппа с 0;
(2) <Р, ×> – группа с 1;
(3) Дистрибутивность
a.
b.
(4)
Не сложно показать, что Q
+
является полуполем.
Определение:
Пусть Р
– подполуполе полуполя F
, , тогда простым расширением
полуполя P
с помощью элемента a
называется наименьшее подполуполе полуполя F
,
содержащее множество P
и элемент a
. Простое расширение P
с помощью a
обозначается P
(a
).
1.2. Простое расширение
Q
+
(a
)
Теорема 1.2.1.
Произвольное полутело либо аддитивно идемпотентно, либо содержит копию
Q
+
в качестве полутела.
Доказательство.
Предположим, что S
– неидемпотентное полутело, т.е. найдется такой ненулевой элемент s
ÎS
, что s
+s
¹s
.
Откуда
.
Рассмотрим суммы единиц. Через обозначим сумму k
единиц (при k
ÎN
). Так как любое полутело является антикольцом, то . Покажем, что суммы различного числа единиц в S
различны. Допустим от противного, что при некоторых натуральных m
<n
. Положим l
=
n
-
m
ÎN
. Тогда . Прибавляя к обеим частям этого равенства элемент , получим
.
Применяя эту процедуру несколько раз, будем иметь
для любого t
ÎN
.
По свойству Архимеда, найдется такое t
ÎN
, что tl
>n.
При k=
tl
имеем и n<
k
. Тогда
.
Откуда 1=1+1 (). Получили противоречие.
Следовательно, полутело S
содержит аддитивную копию N
. Но тогда S
содержит и частные сумм 1, т.е. содержит копию полуполя Q
+
, причем, очевидно, операции в Q
+
и S
согласованы.
■
Теорема
1.2.2.
- простое расширение полуполя Q
+
.
Доказательство.
Заметим, что Q
+
(a
) – полуполе. Кроме того, а Î Q
+
(a
). Это не сложно увидеть, взяв . Очевидно .
Предположим, что есть полуполе P
меньшееQ
+
(a
), содержащее а
и Q
+
. Тогда оно содержит все выражения вида . Так как P
– полуполе, то . Таким образом, . Так как P
– минимальное полуполе, то . То есть, –простое расширение полуполя Q
+
.
■
Аналогично доказывается следующее утверждение.
Теорема
1.2.3.
- простое расширение поля Q
.
1.3. Минимальное соотношение алгебраического элемента над полуполем рациональных неотрицательных чисел
Пусть а –
алгебраическое число. Тогда минимальный многочлен F
числа а
имеет степень ≥ 1. Тогда обозначим через f
многочлен, составленный из положительных одночленов многочлена F
, а многочлен g
составим из отрицательных членов, взятых с противоположными знаками. Тогда . , тогда .
Покажем, что любое равенство получается из , где . Заметим, что , так как а
– корень , а – минимальный многочлен для a
. Представим , где составлен из положительных одночленов многочлена h
, а ‑ составлен из отрицательных одночленов многочлена h
, взятых с противоположным знаком. Таким образом,
Приведем подобные члены в паре , и найдем такой , что
,
не имеют подобных членов.
Аналогично найдем , что
и
не имеют подобных членов.
Получаем
Так как не имеют подобных членов и не имеют подобных членов, то
, или
, .
Найдем значения этих многочленов в точке а
.
,.
Итак,
,
.
То есть, тогда и только тогда, когда .
Будем говорить, что Q
+
(a
) порождается минимальным соотношением .
Глава 2. Однопорожденные полуполя
2.1. Структура простого расширения полуполя неотрицательных рациональных чисел
Для простого расширения справедливы следующие теоремы.
Теорема 2.1.1.
Пусть простое расширение ,
a
– алгебраический элемент над . Тогда эквивалентны следующие утверждения:
(1)
– поле;
(2)
;
(3)
;
(4)
;
(5)
.
Доказательство
.
· (1)®(2): Пусть – поле. Так как - простое расширение поля Q
элементом a
. То . Однако, . Таким образом, .
· (2)®(3): Заметим, что достаточно показать, что
.
Пусть его нет, тогда покажем, что никакой ненулевой элемент не будет обратим. Рассмотрим
и
,
тогда
.
По предположению, этот многочлен – тождественный ноль. А значит. . Так как , то . То есть, оба многочлена – нулевые. Мы же брали ненулевой многочлен b. Это показывает справедливость (3).
· (3)®(4): Пусть , тогда . Так как (f
–
g
)(a
) = 0, то h
(a
) = 0.
· (4)®(5): Пусть , покажем, что .
Так как h
(a
)=0, то . Покажем, что . Рассмотрим
.
Если b
0
≠0, то
.
Если h
0
=0, то
.
Так как a
≠0, то
.
Тогда
.
Итак, .
· (5)®(1): Пусть , покажем, что Q
+
(a
) – поле. Действительно, мы знаем, что Q
+
(a
) – полуполе. Рассмотрим b
ÎQ
+
(a
), тогда . b
+ (‑
b
)=0. То есть, Q
+
(a
) – поле.
Итак, мы показали, что все утверждения равносильны. ■
Доказанный факт влечет следующую теорему.
Теорема 2.1.2.
Пусть Q
+
(
a
) простое расширение
Q
+
,
a
– алгебраический элемент над
Q
+
. Тогда эквивалентны следующие утверждения:
(1)Q
+
(
a
) –полуполе;
(2)
;
(3)
;
(4)
;
<
(5)
.
Доказательство.
Несложно установить равносильность утверждений (1) ‑ (4), исходя из предыдущей теоремы. Докажем условие равносильность их утверждению (5).
Из условия (5) следует, что никакой элемент не обратим по сложению. Тогда Q
+
(a
) не является полем, а значит Q
+
(a
) – полуполе. Докажем, что из (3) следует (5). Действительно, согласно условию (3),
("h
Î
Q
+
[a
],h
≠0) h
(a
)≠0.
То есть, если h
(a
)=0, то h
=0. Пустьh
(a
)=(x
+y
)(a
)=0. Тогда
.
Тогда (xi
+yi
)=0.
Так как xi
ÎQ
+
и yi
ÎQ
+
, то xi
=
yi
=0. А значит, x
=
y
=0.
Теорема доказана.
■
2.2. Расширения полуполя неотрицательных действительных чисел комплексным числом
Теорема 2.2.1.
Любое расширение , где , является полем С
.
Доказательство.
Пусть , и при a
> 0. Тогда находится строго в первой или четвертой четверти комплексной плоскости.
Очевидно, существует натуральное n
, что лежит строго во второй или третьей четверти. То есть, , где c
< 0, . Значит, и . По теореме 2.1.1, – поле. Очевидно, что . То есть, является полем С
.
Аналогично рассматривается случай ■
2.3. Расширения полуполя неотрицательных рациональных чисел комплексным числом
Теорема 2.3.1.
Если
, то
– поле тогда и только тогда, когда
Q
+
(-
a
2
) – поле.
Доказательство.
По теореме 2.1.1 Q
+
(ai
) – поле равносильно существованию
f
¹0, f
(ai
)=0.
Так как все степени ai
Î
Q
+
(ai
).
Рассмотрим некоторый многочлен
.
Равенство выполняется тогда и только тогда, когда действительная и мнимая часть равны нулю.
То есть,
Это верно тогда и только тогда, когда Q
+
(-a
2
) – поле.
Получили, чтоQ
+
(ai
) – поле тогда и только тогда, когдаQ
+
(-
a
2
) – поле. ■
Как следствие получаем более ценные утверждения.
Следствие 1.
Если
, то
Q
+
(
ai
) – полуполе тогда и только тогда, когда
Q
+
(-
a
2
) – полуполе.
Следствие
2
.
Если
и
Q
+
(-
b
2
) – полуполе,
a
Î
Q
+
(-
b
2
), то
Q
+
(
a
+
bi
) – полуполе.
Теорема 2.3.2.
Пусть – комплексный корень квадратного трехчлена
f
(
x
) неприводимого над
Q
. Тогда – полуполе в том и только том случае, когда
f
(
x
) имеет положительный действительный корень.
Доказательство.
Пусть удовлетворяет минимальному соотношению, являющемуся квадратным уравнением без положительных корней. Тогда , где D
– дискриминант минимального соотношения.
Рассмотрим минимальный многочлен, соответствующий данному минимальному значению. Он имеет вид . Если b
, c
≥ 0, то имеем многочлен из . Пусть многочлен имеет два отрицательных корня, тогда , . То есть . Если многочлен не имеет действительных корней, то
(*)
То есть, .
Рассмотрим .
При получаем многочлен из Q
+
[x
]. Пусть . Введем обозначения:
, , ,
, , .
Тогда многочлен примет вид . Умножим его на , получим многочлен . Если , то это искомый многочлен иначе умножим его на .
Докажем, что, проделав такую операцию достаточно большое количество раз, мы получим многочлен из Q
+
. Докажем, что найдется такие k
, что . При этом . Для начала найдем дискриминант уравнения .
То есть, дискриминант Dl
+1
имеет тот же знак, что и Dl
. Так как D
0
<0, то пользуясь методом математической индукции заключаем, что любой дискриминант Dl
<0.
Рассмотрим неравенство , подставим , . Получим
.
То есть,
.
Зная, что заметим
.
Итак, для доказательства нам достаточно установить, что
.
То есть,
.
Пусть аналогичными рассуждениями мы установили, что нам достаточно доказать неравенство
.
Тогда
.
Раскрывая скобки и приводя подобные слагаемые, получим, что
.
Используя оценку и деля на положительный элемент , получаем
.
Обозначим . Рассмотрим отображение , заданное по правилу . При , . Отображение является сжимающим. Оно имеет единственную неподвижную точку. Найдем ее: . Откуда . Заметим, что . Последовательность стремится к 4. То есть, нам достаточно установить, что , а это следует из (*). Итак, мы доказали, что . То есть, мы нашли такой многочлен, , что . Итак, мы доказали, что если удовлетворяет минимальному соотношению, являющемуся квадратным уравнением без положительных корней, то – поле. ■
Следствие 1.
Если – мнимый корень квадратного трехчлена, то ‑ поле.
Следствие 2.
Любое простое расширение является полем , порожденным минимальным соотношением 2 степени.
Доказательство.
Заметим, что . Покажем, что для любого a
ÎQ
найдется такой квадратный многочлен , что - его корень многочлена. Для этого достаточно представить . Возьмем такой , что , тогда . Очевидно, . Таким образом, нам удалось найти многочлен из . То есть, - поле. ■
Рассмотрим последовательность действительных чисел :
(**)
Будем говорить, что последовательность задается числами p
и q
.
Лемма 2.3.3.
Существует
n
, что .
Доказательство.
Пусть . Покажем, что последовательность убывающая.
,
то есть .
Пусть , тогда
Так как , то
Пользуясь методом математической индукции, заключаем, что , то есть - убывающая.
Так как - монотонно убывающая и ограничена снизу 0, то существует . Тогда .
То есть, . Но тогда
,
,
что невозможно для . То есть, . ■
Лемма 2.3.4.
Если , то существует , что .
Доказательство.
Запишем а и bв виде десятичных дробей:
, Так как , то существует k
, что и .
Тогда . Рассмотрим число .
То есть, . ■
Теорема 2.3.5.
Если и , то
.
Доказательство.
По лемме 2.3.3, . Пусть .
Если n=1, то . Рассмотрим .
То есть,
.
Так как . По лемме 2.3.4 . Тогда
.
Рассмотрим n
> 1.
Пусть .
Покажем, что
Раскроем скобки и сгруппируем члены при xj
.
То есть,
Заметим, что . Для существования , по лемме 2.3.4, достаточно выполнения условий и , то есть, . Обозначим . Так как , то и . Для существования достаточно доказать существование и . То есть, . Обозначим . Повторим эту операцию n-2 раза. Получим, что . По лемме 2.3.4, существует, если и . Эти условия следуют из того, что и .
Таким образом, доказано существование
■
Теорема 2.3.6.
Если минимальный многочлен
f
-
g
порождает полуполе то, он либо имеет положительный действительный корень, либо корень , такой что и последовательность (**), заданная числами
p
и
q
, не содержит отрицательных элементов.
Доказательство.
Пусть многочлен f
-
g
не имеет положительных действительных корней, и для всех корней вида , где ,
последовательность (**), заданная числамиp
и q
,
содержит отрицательный элемент. Тогда, по теореме 2.3.5, для каждого множителя вида существует многочлен , что . Рассмотрим многочлен . так как и . Кроме того , а остальные множители многочлена имеют вид или . То есть, . Таким образом . По теореме 2.1.1, минимальный многочлен порождает поле. ■
Теорема 2.3.7.
Для комплексных чисел расширение
, минимальное соотношение которого имеет положительный корень, является полуполем.
Доказательство.
Пусть a
'
– положительный корень минимального соотношения. Предположим, что – поле. Тогда существует многочлен f
с положительными коэффициентами, делящийся на минимальный многочлен. Значит f
(a
'
)=0. Но . Значит a
'
– не является корнем многочлена f
. То есть – полуполе. ■
2.4. Примеры
1. Рассмотрим . Оно удовлетворяет минимальному соотношению . По теореме 2.3.7, - полуполе. Аналогично доказывается, что – полуполе.
2. – полуполе. Для доказательства нужно воспользоваться теоремой 2.3.1.
3. Покажем, что – полуполе. Во-первых, заметим, что . Рассмотрим . По теореме 2.3.7, ‑ полуполе. Тогда, по теореме 2.3.1, – полуполе. . То есть, – полуполе.
4. , минимальное соотношение которого имеет вид , есть полуполе. Действительно, многочлен имеет положительный корень, а значит - полуполе.
Теперь приведем примеры полей.
5. является полем, потому что его минимальный многочлен имеет вид .
6. Пусть удовлетворяет минимальному соотношению . Его минимальный многочлен делит . То есть, – поле. Несложно видеть, что . Итак, .
7. Пусть удовлетворяет минимальному соотношению . Тогда – поле.
8. Пусть , если , то – поле. Так как , то Если , то . Рассмотрим последовательность (**), порожденную p
и q
. . По теореме 2.3.7, – поле.
Литература
1. Вечтомов Е.М.
Введение в полукольца. – Киров: Изд-во Вятского гос. пед. ун-та, 2000
2. Вечтомов Е.М.
О свойствах полутел // Матем. вестник педвузов Волго-Вятского региона. – 2001, вып. 3. – Киров: Изд-во Вят. гос. пед. ун-та. – С. 11-20.
3. Ряттель А.В.
Однопорожденные полукольца с делением // Матем. вестник педвузов Волго-Вятского региона. – 2002, вып. 4.– Киров: Изд-во Вятского госпедуниверситета. – С. 39-45.