Автор инженер-механик
Козий Николай Михайлович
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ ФЕРМА
Великая теорема Ферма формулируется следующим образом: диофантово уравнение:
Аn
+ Вn
= Сn
, (1)
где n- целое положительное число, большее двух, не имеет решения в целых положительных числах.
Суть великой теоремы Ферма не изменится, если уравнение (1) запишем следующим образом:
Аn
= Сn
- Вn
(2)
Для доказательства великой теоремы Ферма предварительно докажем вспомогательную теорему (лемму).
ЛЕММА: Любое натуральное число N>2 в любой степени равно разности квадратов двух натуральных чисел:
Nn
= U2
– V2
(3)
Уравнение (3) рассматриваем как параметрическое с параметром Nn
и неизвестными переменными Uи V. Уравнение (3) запишем следующим образом:
Nn
= U2
– V2
= (U-V)∙(U+V) (4)
Пусть: U – V=M(5)
Тогда: U = V + M(6)
Из уравнений (4), (5) и (6) имеем:
Nn
=M∙ (V+M+V)=M∙(2V+M) = 2V∙M+M2
(7)
Из уравнения (7) имеем:
Nn
- M2
=2V∙M(8)
Отсюда: V = (9)
Из уравнений (6) и (9) имеем:
U=(10)
Из уравнений (9) и (10) следует, что необходимым условием для того чтобы числа Uи Vбыли целыми, является одинаковая четность чисел Nn
и M: оба числа должны быть четными или оба нечетными.
Из уравнений (9) и (10) также следует, что необходимым условием для того чтобы числа Uи Vбыли целыми, является делимость числа Nn
на число M , т. е.
. Следовательно, должно быть:
Nn
=D·M(11)
где D - натуральное простое или составное число.
С помощью уравнений (9) и (10) определяются числа Uи V, удовлетворяющие условиям уравнения (3).
Отсюда следует:
Следствие 1-е: Любое натуральное число N>2 в любой степени равно разности квадратов двух натуральных чисел.
Следствие 2-е: Число N=2 в степени n≥3 равно разности квадратов одной пары или нескольких пар натуральных чисел:
Следствие 3-е: Любое составное натуральное число в любой степени равно разности квадратов одной пары или нескольких пар натуральных чисел:
Доказательство теоремы Ферма
С учетом доказанной леммы можно записать:
Nn
= Аn
= U2
– V2
(12)
Допустим,что великая теорема Ферма имеет решение в натуральных числах. Тогда с учетом уравнений (2) и (11) должны выполняться равенства:
Nn
= D·M =Аn
= Сn
- Вn
= U2
– V2
(13)
Вn
= V2
(14)
Cn
= U2
= (15)
В (16)
C (17)
В соответствии с формулами (13) и (14) число Вn
равно:
Вn
= (18)
Из уравнения (15) с учетом уравнения (13) следует:
Cn
= (19)
Из уравнений (18) и (19) имеем:
В (20)
C (21)
Если допустить, что в соответствии с уравнением (20) В – целое число, то из уравнения (21) с очевидностью следует, что C – дробное число.
Таким образом, великая теорема Ферма не имеет решения в целых положительных (натуральных) числах.