Вычисление радиальных функций матье-ханкеля
Н.И. Волвенко, V курс, Институт математики и компьютерных наук ДВГУ, Т.В. Пак – научный руководитель, доцент, к.ф.-м.н., и.о. зав. кафедрой КТ
Функции Матье, в отличие от широко известных специальных функций, таких как полиномы Лежандра, функции Бесселя и Неймана, изучены ещё недостаточно полно. Почти все используемые методы расчёта связаны с разложением в ряды по более простым цилиндрическим и т.п. функциям. Недостаток таких методов в том, что они достаточно громоздки и имеют ограниченную применимость.
Функции Матье возникают при разделении переменных в уравнении Гельмгольца:
, (1)
где - некоторая вещественная положительная константа и - оператор Лапласа.
Эллиптические координаты , допускающие разделение переменных связаны с декартовыми: ,.
Полагая в методе разделения переменных, получаем уравнения:
, ,
где - константа разделения. Эти уравнения являются вариантами уравнений Матье.
Дифференциальное уравнения Матье имеет вид
, (2)
где обычно переменная имеет вещественное значение, а - заданный вещественный ненулевой параметр.
Собственные значения и граничные условия
(3)
соответствуют чётным функциям Матье , а собственные значения и граничные условия
(4)
нечётным функциям Матье
В силу свойств симметрии уравнение (2) имеет 4 типа периодических решений, называемых функциями Матье 1-ого рода: чётную π-периодическую, чётную 2π-периодическую, нечётную 2π-периодическую, нечётную π-периодическую функции, которые чаще всего обозначаются таким образом: , , , .
Собственные значения , отвечающие функциям , , , , обозначаются через , , , .
Модифицированное уравнение Матье
(5)
получается из уравнения Матье (2) подстановкой . В зависимости от того, будет в (5) или , это уравнение имеет либо решение , либо решение , которые являются соответственно чётной и нечётной функциями от ξ.
Функции, являющиеся решениями уравнения (5), называются радиальными функциями Матье (РФМ).
Различают РФМ 1, 2, 3 и 4 рода: , , , .
Вычисление функций Матье
I
рода
Радиальные функции Матье первого рода являются решениями ОДУ второго порядка
, (6)
удовлетворяющие в нуле условию
, если (7)
, если
И на бесконечности условию
~, (8)
где - задано, а () - собственные значения задачи (2), (3), (4),
Параметр используются для различия случаев использования чётного или нечётного номера собственного значения для π и 2π периодических собственных функций:
Для решения задачи (6)-(8) используем модификацию метода фазовых функций.
Введём замену переменных:
(9)
(10)
Здесь - "масштабирующая" функция, положительная на , удовлетворяющая условию при , её выбор
Подставляя (9), (10) в исходное уравнение (6) задачи для и :
(11)
(12)
где и .
Для совместного решения задач Коши для и используется следующий приём. Функцию ищем в точках . На каждом из отрезков вспомогательные функции находятся, как решение задач Коши
(13)
где .
Поскольку для любых решений и , уравнений (12) и (13) справедливо соотношение , получаем рекуррентные формулы «назад» для вычисления , ,
, , (14)
причём .
Итак, краткий алгоритм решения задачи (6)-(8) состоит в следующем:
1. Решаются совместно задачи Коши (11), (12) запоминая в точках разбиения отрезка величины , , ;
2. Полагая , по формуле (14) вычисляем , ;
3. По формуле (10) вычисляем функции , ;
4. Из (9) и (10) получаем выражение для производной функции
.
В качестве сглаживающей функции предлагается следующая функция
, где .
Вычисление функций Матье
III
рода
Волновая радиальная функция Матье-Ханкеля третьего рода является решением обыкновенного дифференциального уравнения второго ворядка на полубесконечном интервале:
,. (15)
Условие на бесконечности
~, . (16)
Для уравнения (15) условие (16) эквивалентно условию:
,
и при достаточно больших линейному соотношению:
, .
(17)
Решение задачи (17) существует, единственно и при достаточно больших представимо асимптотическим рядом .
Рассмотрим алгоритм нахождения функций . Для их вычисления нужно перенести граничное условие
,
где , справа налево от точки до точки .
Воспользуемся вариантом ортогональной дифференциальной прогонки.
По всему отрезку переносим соотношение
,
потребовав выполнение условия для всех , , где и удовлетворяют системе дифференциальных уравнений 1-ого порядка
.
Функции Матье 3-его рода ищем по формуле:
,
где .
Функции Матье 2-ого рода вычисляются по формуле:
.
функция матье дифференциальное уравнение
Описанные алгоритмы вычисления радиальных функций эллиптического цилиндра опробованы в широком диапазоне изменения параметров. Точность результатов определяется точностью используемого метода Рунге-Кутта для решения соответствующих задач Коши.
Литература
1. Абрамов А.А., Дышко А.Л., Пак Т.В. и др. Численные методы решения задач на собственные значения для систем обыкновенных дифференциальных уравнений с особенностями. – Третья конференция по дифференциальным уравнениям и приложениям. – Тезисы докладов. Руссе, Болгария, 1985. – с.4.
2. Миллер У. мл. Симметрия и разделение переменных / Пер. с англ. – М.: Мир, 1981. – 342 с.
3. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками таблицами. / Под редакцией М. Абрамовица, И. Стигана. – М. – 1979. – 832 с.:ил.