1. Властивості визначеного інтеграла
10 Величина визначеного інтеграла не залежить від позначення змінної інтегрування:
тощо.
Інтегральна сума, а отже, і її границя не залежать від того, якою буквою позначено аргумент функції f. Це й означає, що визначений інтеграл не залежить від позначення змінної інтегрування.
Визначений інтеграл введений для випадку, коли a<b. Узагальнимо поняття інтеграла на випадки, коли a=b i a>b.
20. Визначений інтеграл з однаковими межами інтегрування дорівнює нулю:
30. Від переставлення меж інтегрування інтеграл змінює знак на протилежний:
(33)
Властивості 20 і 30 приймають за означенням. Відзначимо, що ці означення повністю виправдовує наведена далі формула Ньютона – Лейбніца.
40. Якщо функція f(x) інтегрована на максимальному з відрізків [a;b], [a;c], [c;b], то справедлива рівність
(34)
(адитивність визначеного інтеграла).
Припустимо спочатку, що a<c<b. Оскільки границя інтегральної суми не залежить від способу розбиття відрізка [a;b] на частинні відрізки, то розіб’ємо [a;b] так, щоб точка с була точкою розбиття. Якщо, наприклад, с=хт , то інтегральну суму можна розбити на дві суми:
.
Переходячи в цій рівності до границі при , дістанемо формулу (34).
Інше розміщення точок a, b, с зводиться до вже розглянутого.
Якщо, наприклад, a<b<c, то за формулами (34) і (33) маємо
На рис. 7.5 показано геометрично цю властивість для випадку, коли і a<b<c: площа трапеції aABb дорівнює сумі площ трапеції aACc i cCBb.
Зауваження. Нехай f(x) – знакозмінна неперервна функція на відрізку [a;b], де a<b, наприклад, (рис.7.6)
Скориставшись адитивністю та геометричним змістом інтеграла, дістанемо
де S1, S2, S3 – площі відповідних криволінійних трапецій.
Отже, в загальному випадку, з погляду геометрії визначений інтеграл (27) при a<b дорівнює алгебраїчній сумі площ відповідних криволінійних трапецій, розміщених над віссю Ох, мають знак плюс, а нижче осі Ох – знак мінус. Якщо a>b то все формулюється навпаки .
Зазначимо, що площа заштрихованої на рис. 7.6 фігури виражається інтегралом
50. Сталий множник С можна винести за знак визначеного інтеграла
(35)
Дійсно
60. Визначений інтеграл від суми інтегрованих функцій дорівнює сумі визначених інтегралів від цих функцій:
(36)
Для довільного τ – розбиття маємо
Звідси, переходячи до границі при дістанемо формулу (36). Ця властивість має місце для довільного скінченого числа доданків.
Властивості 50 і 60 називають лінійністю визначеного інтервала.
70. Якщо всюди на відрізку [a;b] маємо , то
(37)
(збереження знака підінтегральної функції визначеним інтегралом).
Оскільки
то будь-яка інтегральна сума і її границя при , теж невід’ємна.
80. Якщо всюди на відрізку [a;b] маємо , то
(38)
(монотон
Оскільки то з нерівності (37) маємо
Використовуючи властивість 40 , дістанемо нерівність (38).
Якщо то властивість 80 можна зобразити геометрично (7.7): площа криволінійної трапеції aA1B1b не менша площі криволінійної трапеції aA2B2b.
90. Якщо функція f(x) інтегрована на відрізку [a;b] (a<b), то
(39)
Застосовуючи формулу (38) до нерівності
дістаємо
Звідки й випливає нерівність (39).
100. Якщо то
(40)
Скориставшись формулами (39) та (35), дістанемо
Звідси й одержуємо нерівність (40), оскільки
(41)
110. Якщо т і М – відповідно найменше і найбільше значення функції f(х) на відрізку [a;b] (a<b), то
(42)
(оцінки інтеграла по області).
За умовою
тому з властивості 70 маємо
Застосовуючи до крайніх інтегралів формули (35) і (41), дістаємо нерівність (42).
Якщо , то властивість 110 ілюструється геометрично (рис. 7.8): площа криволінійної трапеції aABb не менша площі прямокутника aA1B1b і не більша площі прямокутника aA2B2b.
120. Якщо функція f(х) неперервна на відрізку [a;b], то на цьому відрізку знайдеться така точка с, що
(43)
(теорема про середнє значення функції).
Якщо функція f(х) неперервна на відрізку, то вона досягає свого найбільшого значення М і найменшого значення т. Тоді з оцінок (42) дістанемо (якщо a<b)
Покладемо
Оскільки функція f(х) неперервна на відрізку [a;b], то вона набуває всі проміжні значення відрізка [m; M] (п. 5.3, гл. 4). Отже, існує точка така, що , або
(44)
звідки й випливає дана властивість.
Для випадку, коли a>b, приводимо ті самі міркування для інтеграла , ф потім, переставивши границі. Приходимо до попередньої формули.
Рівність (44) називається формулою середнього значення, а величина f(c) – середнім значенням функції на відрізку [a;b].
Теорема про середнє значення при має такий геометричний зміст (рис. 7.9.): значення визначеного інтеграла дорівнює площі прямокутника з висотою f(c) і основою b-a.
Термін “середнє значення функції” добре узгоджується з такими фізичними поняттями, як середня швидкість, середня густина, середня потужність тощо. Якщо, наприклад, у формулі (44) інтеграл означає пройдений шлях за проміжок часу f [a;b] (п.2.2), то середнє значення f(c) означає середню швидкість, тобто сталу швидкість, при якій точка, рухаючись рівномірно, за той же проміжок часу пройшла б той самий шлях, що і при нерівномірному русі із швидкістю f(t).
130. Якщо змінити значення інтегрованої функції в скінченому числі точок, то інтегрованість її не порушиться, а значення інтеграла при цьому не зміниться.
Ця властивість дає змогу говорити про інтеграл навіть тоді, коли функція f(х) не визначена в скінченому числі точок відрізка[a;b]. При цьому в цих точках функції можна надати цілком довільних значень і величина інтеграла не зміниться.