Курсовая работа
"Представления конечных групп"
Содержание
Основные обозначения
Введение
1. Представления конечных групп
1.1 Представления групп
1.2 Представления унитарными матрицами и полная приводимость представлений конечных групп
1.3 Лемма Шура
1.4 Соотношения ортогональности для характеров
1.5 Индуцированные представления
1.6 Произведение представлений
Заключение
Список использованных источников
Основные обозначения
| – группа |
| – порядок группы |
| – единичный элемент группы |
| – единичная подгруппа, единичная группа |
| – множество всех простых делителей натурального числа |
| – множество всех простых делителей порядка группы |
| – центр группы |
| – подгруппа Фиттинга группы |
| – подгруппа Фраттини группы |
| – коммутант группы |
| – централизатор подгруппы в группе |
| – нормализатор подгруппы в группе |
| – группа всех автоморфизмов группы |
| – группа всех внутренних автоморфизмов группы |
| - является подгруппой группы |
| – является собственной подгруппой группы |
| – является максимальной подгруппой группы |
| – является нормальной подгруппой |
| – является субнормальной подгруппой группы |
| – является минимальной нормальной подгруппой группы |
| – индекс подгруппы в группе |
| – прямое произведение подгрупп и |
| – полупрямое произведение нормальной подгруппы и подгруппы |
Введение
В данной работе приведены доказательства следующих теорем:
Теорема.
Непустое подмножество группы будет подгруппой тогда и только тогда, когда и для всех
.
Группой
называется непустое множество с бинарной алгебраической операцией (умножением), которая удовлетворяет следующим требованием:
1) операция определена на , т.е. для всех ;
2) операция ассоциативна, т.е. для любых ;
3) в существует единичный элемент, т.е. такой элемент , что для всех , что для всех ;
4) каждый элемент обладает обратным, т.е. для любого существует такой элемент , что .
Более кратко: полугруппа с единицей, в которой каждый элемент обладает обратным, называется группой
.
Группу с коммутативной операцией называют коммутативной
или абелевой
. Если – конечное множество, являющиеся группой, то называют конечной группой
, а число элементов в – порядком группы
.
Подмножество группы называется подгруппой
, если – группа относительно той же операции, которая определена на . Запись означает, что – подгруппа группы , а – что – собственная подгруппа группы , т.е. и .
Централизатор
. Пусть – непустое подмножество группы . Совокупность всех элементов группы , перестановочных с каждым элементом множества , называется централизатором множества в группе
и обозначается через .
Лемма
1. Если – подмножество группы , то централизатор является подгруппой.
2. Если и – подмножество группы и , то
3. Если – подмножество группы и , то
Центр группы
. Центром группы
называется совокупность всех элементов из , перестановочных с каждым элементом группы. Центр обозначается через . Ясно, что , т.е. центр группы совпадает с централизатором подмножества в группе . Кроме того, .
Зафиксируем в группе элемент . Пересечение всех подгрупп группы , содержащих элемент , назовем циклической подгруппой, порожденной элементом
, и обозначим через .
Теорема.
Циклическая подгрупппа , порожденная элементом , состоит из всевозможных целых степеней элемента , т.е.
Следствие. Циклическая подгруппа абелева.
Порядок элемента.
Пусть – элемент группы . Если все степени элемента различны, т.е. для всех целых , то говорят, что элемента имеет бесконечный порядок
.
Нормализатор
. Если – непустое подмножество группы и то и Элемент называется перестановочным с подмножеством
, если . Равенство означает, что для любого элемента существует такой элемент , что . Если элемент перестановочен с подмножеством , то и . Совокупность всех элементов группы , перестановочных с подмножеством , называется нормализатором подмножества в группе
и обозначается через . Итак,
Лемма.
Пусть – непустое подмножество группы , – произвольный элемент группы . Тогда:
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) если – подгруппа группы , то
Подгруппа называется нормальной подгруппой
группы , если для всех . Запись читается: » – нормальная подгруппа группы «. Равенство означает, что для любого элемента существует элемент такой, что .
Теорема.
Для подгруппы группы следующие утверждения эквивалентны:
1) – нормальная подгруппа;
2) подгруппа вместе с каждым своим элементом содержит все ему сопряженные элементы, т.е. для всех ;
3) подгруппа совпадает с каждой своей сопряженной подгруппой, т.е. для всех .
Лемма.
Пусть – подгруппа группы . Тогда:
1) ;
2) если и , то ;
3) – наибольшая подгруппа группы , в которой нормальна;
4) если , то . Обратно, если , то ;
5) для любого непустого подмножества группы .
Простая группа
. В каждой группе тривиальные подгруппы (единичная подгруппа и сама группа ) являются нормальными подгруппами. Если в неединичной группе нет других нормальных подгрупп, то группа называется простой
. Единичную группу считают непростой.
Представления конечных групп
1.1 Представления групп
Пусть – группа всех невырожденных матриц порядка над полем комплексных чисел. Если – произвольная группа, то ее (матричным) представлением
называется любой ее гомоморфизм в
G,
такой, что
,
(единичная матрица),
. Число n называется степенью
этого представления. Если гомоморфизм A
иньективен, то представление называется точным
.
Пример 1.1
Отображение, переводящее каждый элемент группы в , является представлением степени . Оно называется тождественным представлением
группы и обозначается через .
Пример 1.2
Если – некоторое представление группы , то для каждой невырожденной матрицы отображение также является представлением этой группы.
Пусть и – два представления группы . Если существует невырожденная матрица , такая, что что
,
то представления и называются эквивалентными
. Тот факт, что представления и эквивалентны, мы будем обозначать так: . Отношение
определяет классы эквивалентных представлений
группы .
Пример 1.3.
Пусть – симметрическая группа степени . Для элемента
через обозначим матрицу, строка которой имеет вид , где 1 стоит на месте. Другими словами,
где
Такое отображение является точным представлением группы .
1.4. Пусть –конечная группа, состоящая из элементов и пусть – симметрическая группа на . Отображение, которое ставит в соответствие элементу подстановку
является инъективным гомоморфизмом группы в . С такой подстановкой мы свяжем матрицу
где, как и в примере ,
Тогда отображение является точным представлением группы . Оно называется правым регулярным представлением
этой группы. Определим следующим образом:
Тогда
и, если , то каждый диагональный элемент равен нулю.
регулярное представление группы определяется аналогично с использованием гомоморфизма
Другими словами,
Пусть – некоторый гомоморфизм из в , т.е. подстановочное представление группы . Представив подстановку в виде матрицы , как это сделано в примере 1.3, мы получим представление
Пусть – представление степени . Говорят, что приводимо,
если существует такая невырожденная матрица , что
где и – квадратные матрицы порядка и соответственно, причем Отметим, что представления
эквивалентны, поскольку для матрицы
Скажем, что представление неприводимо,
если оно не является приводимым. Отметим, что в (1.3) отображения и являются представлении степеней и соответственно.
Для заданных представлений и группы степеней и соответственно отображение
является представление степени этой группы. Такое, представление называется прямой суммой
представлений и и обозначается через .
Представление группы называется вполне приводимым,
если оно эквивалентно прямой сумме некоторых неприводимых представлений, т.е. если найдется невырожденная матрица , такая, что
где каждое является неприводимым представлением группы .
1.2 Представления унитарными матрицами
и полная приводимость представлений конечных групп
Представление группы называется унитарным,
если для всех матрица является унитарной, т.е. . Здесь обозначает матрицу, транспонированную к , где , а – величина, комплексно – сопряженная к . В этом параграфе мы покажем, что каждое представление конечной группы эквивалентно некоторому ее унитарному представлению и является мполне приводимым.
Матрица называется эрмитовой,
если , и положительно определенной,
если для каждого ненулевого столбца . Следующая лемма тривиальна.
Лемма 2.1.
Пусть – произвольная невырожденная матрица. Тогда – положительно определенная эрмитова матрица. Кроме того, сумма положительно определенных эрмитовых матриц также является положительно определенной эрмитовой матрицей.
Лемма 2.2.
Для любой положительно определенной эрмитовой матрицы найдется невырожденная верхнетреугольная матрица , такая, что .
Доказательство. Пусть . Тогда и . Пусть
.
Положим
Тогда
и – положительно определенная эрмитова матрица. Для завершения доказательства достаточно воспользоваться индукцией по порядку матрицы .
Теорема 2.3.
Пусть – конечная группа. Для каждого представления группы найдется невырожденная верхнетреугольная матрица , такая, что является унитарной матрицей для всех .
Доказательство. Положим
Тогда в силу леммы 2.1 является положительно определенной эрмитовой матрицей. Таким образом, найдется невырожденная верхнетреугольная матрица , такая, что и поэтому . Так как
то , т.е. ; поэтому – унитарная матрица.
Теорема 2.4.
Каждое представление конечной группы вполне приводимо.
Доказательство. Пусть – приводимое представление конечной группы , и пусть разлагается следующим образом:
В силу предыдущей теоремы существует невырожденная матрица , такая, что – унитарная матрица. Так как верхнетреугольная, то имеет вид
Поскольку , мы получаем
откуда следует, что .
1.3 Лемма Шура
Лемма 3.1.
(Лемма Шура.) Пусть и – неприводимые представления группы степеней и соответсвенно. Пусть – такая – матрица, что
Тогда либо
,
либо
и невырожденная.
Доказательство. Допустим, что . Покажем, что тогда имеет место . Предположим, что либо , либо и вырожденна. Тогда существуют матрицы и , такие, что
где . Так как , то
где
Таким образом, , если , и , если . В любом случае или приводимо, что противоречит условию.
Теорема 3.2.
Пусть – неприводимое представление группы . Пусть – такая матрица, что для всех . Тогда , где .
Доказательство. Пусть – некоторое собственное значение матрицы . Тогда , а, кроме того,
откуда в силу леммы Шура следует, что
Теорема 3.3.
Пусть – абелева группа. Тогда каждое ее неприводимое представление имеет степень
1.
Доказательство. Пусть – неприводимое представление группы . Поскольку коммутирует с каждой матрицей , из предыдущей теоремы следует, что , где . Поскольку неприводимо, отсюда вытекает, что его степень равна 1.
1.4 Соотношения ортогональности
для характеров
Ниже везде предполагается, что рассматриваемые группы конечны.
Характеры.
Для квадратной матрицы порядка обозначим через ее след
, т.е.
Путем прямых вычислений доказывается следующая
Лемма 4.1.
для произвольной квадратной матрицы
.
Для представления группы положим Тогда – функция, принимающая значения в множестве и называемая характером
представления . Очевидно, что равно степени представления . Характеры неприводимых представлений называются неприводимыми характерами
. Из леммы 4.1 (2) вытекает следующая
Лемма 4.2.
Эквивалентные представления имеют один и тот же характер
.
Поскольку , имеет место равенство . Таким образом, принимает одно и то же значение на всем классе сопряженных элементов группы . Такие функции называются функциями классов
.
Первое соотношение ортогональности для характеров.
Пусть – группа порядка , а и – ее неприводимые представления степеней и соответственно. Для п
Тогда, положив , получаем
Поскольку , как и , пробегает группу , то
Предположим, что и неэквивалентны. Тогда в силу леммы Шура . Отсюда для -го элемента матрицы получаем
В частности, если взять для некоторой пары и в остальных случаях, то
Пусть теперь . Тогда в силу теоремы 3.2 для некоторого . При этом -ый элемент матрицы равен
где и для . Вычислив след матрицы
мы получаем (здесь – степень представления ), откуда
Пусть для некоторой пары и , если или . Тогда
Тем самым мы получаем следующее утверждение.
Теорема 4.3.
Пусть – группа порядка
g.
(1) Пусть – неприводимое представление группы степени . Тогда
(2) Пусть – неприводимое представление, не эквивалентное представлению . Тогда
Пусть – характеры представлений и . Положив в предыдущей теореме и просуммировав по , мы получаем теорему.
Теорема 4.4.
(Первое соотношение ортогональности для характеров.) Пусть – группа порядка
g.
(1) Если – неприводимый характер группы , то
(2) Если – характеры неэквивалентных неприводимых представлений группы , то
Отметим, что для всех , поскольку теорема 2.3 утверждает, что эквивалентно некоторому унитарному представлению и потому
Пусть – представители классов эквивалентности неприводимых представлений группы и – характеры представлений . Обозначим через классы сопряженных элементов группы , причем , и пусть – представители этих классов. Поскольку характеры – это функции классов, теорема 4.4 может быть переписана в следующем виде.
Теорема
.
Для функций , определенных на группе порядка и принимающих значения в поле , определим скалярное произведение
по следующему правилу:
В случаях, когда ясно, о какой группе идет речь, мы иногда вместо будем писать . Очевидно, что скалярное произведение является симметричной билинейной формой:
В этих обозначениях первое соотношение ортогональности для характеров можно сформулировать так:
Теорема
. Пусть – характеры попарно неэквалентных неприводимых представлений группы . Тогда
Кратности неприводимых представлений.
Пусть – некоторое представление группы . Поскольку оно вполне приводимо в силу теоремы 2.3, оно эквивалентно представлению
где – неэквивалентные неприводимые представления. Число называется кратностью
представления в , и мы записываем
Пусть – характер представления и – характер представления . Тогда
Если , то и называют неприводимыми компонентами
представления и характера соответственно.
Теорема 4.5.
Пусть – группа и – характер некоторого ее представления. Пусть – кратность неприводимого характера в . Тогда
Доказательство. Пусть разложение в сумму неприводимых характеров имеет вид , где – кратность . Тогда
Теорема 4.6.
Пусть – представления группы , а – их характеры. Тогда и эквивалентны в том и только том случае, когда .
Доказательство. В силу предыдущей теоремы кратности компоненты в и определяются характерами последних. Поскольку каждое представление группы вполне приводимо, представления и эквивалентны тогда и только тогда, когда каждое неприводимое представление имеет в и одну ту же кратность. Таким образом, тогда и только тогда, когда .
Пусть – характер правого регулярного представления группы порядка . Отметим, что
Для характера произвольного неприводимого представления выполняется соотношение
равно степени представления ). Следовательно, справедлива следующая
Теорема 4.7.
Пусть – характер правого регулярного представления группы . Тогда каждое неприводимое представления этой группы входит в с кратностью , где – степень представления . Таким образом,
где суммирование ведется по всем неприводимым характерам группы .
Заметим, что правое и левое регулярные представления эквивалентны, поскольку характер левого регулярного представления также удовлетворяет равенству (4.8). Поэтому .
Теорема 4.7 утверждает, что каждый неприводимый характер входит в в качестве компоненты, и поэтому имеет лишь конечное число неприводимых характеров. Ниже мы покажем, что число неприводимых характеров группы совпадает с числом ее классов сопряженных элементов.
Теорема 4.8.
Пусть – полный набор различных неприводимых характеров группы . Пусть – степень , а – порядок группы . Тогда
и
для .
Для доказательства достаточно вычислить на элементе , используя (4.8).
Второе соотношение ортогональности для характеров.
Пусть – группа, а – ее классы сопряженных элементов. Образуем формальную сумму элементов из класса :
Определим произведение и по правилу
где , а суммирование ведется по . Для элемента обозначим через число пар , таких, что . Тогда для имеется в точности пар , таких, что , поскольку тогда и только тогда, когда для . Поэтому каждый элемент из появляется в правой части равенства (4.9) одно и то же число раз, т.е.
Совокупность всех элементов для также образует класс сопряженных элементов. Обозначим этот класс через .
Тогда
Пусть – неприводимое представление группы и – степень . Определим по правилу
Тогда
поскольку пробегает , как и . Значит, коммутируют с и в силу теоремы 3.2
Взяв след от обеих частей равенства (4.12), мы получим
где – характер представления и . В силу (4.10)
Подставив в это равенство (4.13), мы придем к равенству
или
Пусть – все различные неприводимые характеры группы и – степень . Равенство (4.14) имеет место для каждого . Просуммировав (4.14) по , получим
Отсюда
Величина равна порядку централизатора элемента в группе . Поскольку в силу (4.5) , мы получаем следующее утверждение.
Теорема 4.9.
(Второе соотношение ортогональности для характеров.) Пусть – множество всех различных неприводимых характеров группы , и пусть – полный набор представителей классов сопряженных элементов группы . Тогда
где – порядок и суммирование ведется по всем неприводимым характерам группы .
Теорема 4.10.
Число различных неприводимых характеров группы равно числу ее классов сопряженных элементов.
Доказательство. Мы воспользуемся следующим простым фактом, касающимся матриц. Пусть есть – матрица, а есть – матрица. Если определитель квадратной матрицы , имеющий порядок , отличен от нуля, то .
Пусть – все различные неприводимые характеры группы , а – полный набор представителей классов сопряженных элементов этой группы. Тогда по теореме
Поэтому . В силу теоремы 4.9
Отсюда следует, что и потому .
1.5 Индуцированные представления
Пусть – группа и – ее подгруппа. Обозначим через и порядки групп и соответственно. Если – некоторая функция на , то через обозначим ее ограничение на . В случае когда – функция классов на , также является функцией классов на . Если – характер некоторого представления группы , то представляет собой характер ограничения представления на .
По функции , заданной на , определим функцию на правилом
полагая для , не принадлежащих . Отметим, что является функцией классов на , даже еслм не является функцией классов на . Если не сопряжен ни с каким элементом из , то .
Лемма 5.1.
Пусть – функция классов на группе , а – функция классов на подгруппе группы . Тогда
Доказательство. Имеем
Вклад в сумму дают лишь такие пары , что . Поэтому, суммируя по тем парам , для которых при некотором , получаем
Если – характер некоторого представления группы , то назовем индуцированным характером
группы и скажем, что индуцирован с . Мы хотим показать, что каждый индуцированный характер действительно является характером некоторого представления группы .
Пусть – множество представителей левых смежных классов группы по :
Для представления подгруппы определим матрицу так:
где для , не содержащихся в , полагаем . Это обобщение правого регулярного представления группы . Мы покажем, что
– представление группы степени , где , а – степень . При фиксированных и множество содержит по одному представителю из каждого левого смежного класса по , поэтому среди матриц , лишь одна ненулевая. Аналогично, множество содержит по одному представителю из каждого правого смежного класса по и среди матриц , также лишь одна ненулевая. Обозначим -й блок матрицы через . Тогда
Покажем, что . Имеется единственное число , такое, что , и единственное число , такое, что . Если , то . Если же , то и , поскольку . В любом случае и следовательно, . Поскольку , матрица невырожденна. Таким образом является представлением группы .
Пусть – характер , а – характер . Тогда
Тем самым мы получим . Назовем индуцированным представлением
группы и будем говорить, что индуцировано с . Сказанное суммирует следующая
Теорема 5.2.
Пусть – группа и – ее подгруппа. Пусть – представление степени , а – его характер. Тогда индуцированное представление имеет степень , где , и характер
Теорема 5.3.
(Закон взаимности Фробениуса.) Пусть – подгруппа в . Пусть – полный набор неприводимых характеров группы , а – полный набор неприводимых характеров группы . Тогда
в том и только том случае, когда
Другими словами, если – неприводимое представление группы , а – неприводимое представление , то является неприводимой компонентой в кратности тогда и только тогда, когда является неприводимой компонентой в кратности .
Доказательство. Пусть и . В силу леммы 5.1
1.6 Произведение представлений
Пусть – квадратные матрицы порядков и соответственно, и пусть . Определим кронекерово
, или тензорное
, произведение матриц и следующим образом:
Значит, представляет собой квадратную матрицу порядка . Непосредственными вычислениями устанавливается следующая
Лемма 6.1.
(1) ,
(2) если имеют степень , a – степень , то
Пусть и – представления группы . Тогда в силу леммы 6.1 (2) отображение
также является представлением этой группы. Такое представление называют произведением
представлений и обозначают через . Пусть – характеры представлений соответственно. По лемме 6.1 (1)
Пусть – полный набор неприводимых представлений группы , а – характер . Отображение также является неприводимым, и его характер – это , где . Пусть .
Теорема 6.2.
Равенство
имеет место тогда и только тогда, когда
Доказательство.
Таким образом, кратность вхождения в равна кратности вхождения в
Теорема 6.3.
Пусть – точное представление группы и – его характер. Пусть – число различных значений, которые принимает на . Тогда каждое неприводимое представление группы входит в
для некоторого , где .
Доказательство. Предположим, что неприводимое представление не входит в . Пусть – характеры и соответственно. Тогда
для . Пусть принимает на значение . Положим и . В силу (6.1)
для Рассмотрим (6.2) как систему линейных уравнений для . Поскольку , эта система имеет решение .
Пусть – степень представления , т.е. . Мы можем считать, что . Покажем, что . Пусть , т.е. . Обозначим через циклическую группу, порожденную элементом . По теореме 3.3 эквивалентно прямой сумме представлений степени 1. Значит, для некоторой невырожденной матрицы
Пусть – порядок элемента . Тогда . Взяв след в равенстве (6.3), получаем . Это означает, что , т.е. . Плскольку точно, . Поэтому и . Полученное противоречие доказывает теорему.
Таблицы характеров.
Пусть – группа и – классы сопряженных элементов в . Пусть – нерпиводимые характеры группы , а – представители ее классов сопряженных элементов. Отметим, что в силу теоремы 4.10 число неприводимых характеров совпадает с числом классов сопряженности. Упорядочим значения таким образом, чтобы получить таблицу характеров
группы , в которой строки помечены различными неприводимыми характерами, начиная с , а столбцы – классами сопряженности группы , начиная с класса .
Различные строки таблицы характеров ортогональны между собой в смысле теоремы , а в силу теоремы 4.9 столбцы ортогональны между собой в обычном смысле как векторы комплексного унитарного пространства.
Заключение
Таким образом, в данной работе мы показали, что каждое представление конечной группы эквивалентно некоторому ее унитарному представлению и является мполне приводимым.
Путем прямых вычислений доказали лемму:
для произвольной квадратной матрицы
и теорему: Пусть – группа и – ее подгруппа. Пусть – представление степени , а – его характер. Тогда индуцированное представление имеет степень , где , и характер
Непосредственными вычислениями была устанавлена следующая лемма: ,
(2) если имеют степень , a – степень , то
Список использованных источников
Сыскин С.А. Абстрактные свойства простых спорадических групп. – Усп. мат. наук, 1980, т. 35, №5, (215), с. 181–212.
Монахов В.С. О трижды факторизуемых группах. – Изв. АН БССР. Сер. физ.-мат. наук, 1981, №6, с. 18–23.
Монахов В.С. Произведение разрешимой и циклической групп // Сб. VI всес. симпозиум по теории групп.-Киев: Наукова думка, 1980-с. 189–195
Монахов В.С. О произведении двух групп с циклическими подгруппами индекса 2 // Весцi АН Беларусi. сер. фiз.-мат. навук. – 1996, №3-с. 21–24