Учреждение образования Гомельский государственный
университет имени Франциска Скорины
Математический факультет
Кафедра Дифференциальных уравнений
Курсовая работа
«Системы, эквивалентные системам с известным типом точек покоя»
Гомель 2005
Реферат
Курсовая работа состоит из 14 страниц, 2-х источников.
Ключевые слова: вложимая система, с известным типом точек покоя, первый интеграл дифференциальной системы, отражающая функция, класс систем эквивалентных системе с известным типом точек покоя, непрерывно дифференцируемая функция.
Целью курсовой работы является исследование системы с известным типом точек покоя, нахождение первого интеграла системы, применение теоремы об эквивалентности дифференциальных систем.
Содержание
Введение
Определение вложимой системы. Условия вложимости
Общее решение системы
Нахождение первого интеграла дифференциальной системы и условия его существования
Отражающая функция
Применение теоремы об эквивалентности дифференциальных систем
Заключение
Список использованных источников
Введение
В курсовой работе рассматривается вложимая система с изаестным типом точек покоя. Как известно система является вложимой, если любая компонента этой системы вложима, т.е. система вложима тогда и только тогда, когда множество её решений является подмножеством множества решений некоторой линейной стационарной системы.
В 1–2 м пунктах рассматривается вложимая система, с известным типом точек покоя. Далее проверяем являются ли x и y общим решением нашей системы уравнений.
Во 3-м мы находим первый интеграл системы и проверяем выполнение тождества.
В 4-м пункте применяем теорему об эквивалентности дифференциальных систем.
1. Определение вложимой системы. Условия вложимости
Рассмотрим дифференциальную систему
D. (1)
Будем называть i-ю компоненту x системы (1) вложимой, если для любого решения x(t)=(x(t),…, x(t)), t, этой системы функция xt, является квазимногочленом. Таким образом i-я компонента системы (1) вложима тогда и только тогда, когда для каждого решения x(t) этой системы существует линейное стационарное уравнение вида
, (2)
для которого является решением.
Вообще говоря, порядок и коэффициенты уравнения (2) зависят от выбора решения . В частном случае, когда компонента любого решения системы (1) является одновременно и решением некоторого, общего для всех решений уравнения (2), компоненту системы (1) будем называть сильно вложимой в уравнение (2).
2. Общее решение системы
Рассмотрим вложимую систему
(1)
(b>0 и а-постоянные) с общим решением
, если с0;
x=0, y=at+c, если с=0, где постоянные с, с, с связаны соотношением с(b+c+c)=a, имеет два центра в точкахи .
Решение:
Подставим общее решение
в нашу систему (1) получим
==c(ccosct-csinct)=
a-
Для краткости распишем знаменатель и преобразуем
x+y+b=
=
=a+c(csinct+ccosct)
a-
Получаем, что x и y являются общим решением системы.
3. Нахождение первого интеграла дифференциальной системы и условия его существования
Рассмотрим систему = f (t, x), x= (x,…, x), (t, x)(1)
с непрерывной в области D функцией f. Дифференцируемая функция U (t, x), заданная в некоторой подобласти G области D, называется первым интегралом системы
(1) в области G, если для любого решения x(t), t, системы (1), график которого расположен в Gфункция U (t, x(t)), t, постоянна, т.е. U (t, x(t)) зависит только от выбора решения x(t) и не зависит от t.
Пусть V (t, x), V:GR
, есть некоторая функция. Производной от функции V в силу системы (1) назовем функцию VVR,
определяемую равенством
V (t, x(t))t.
Лемма 1.
Для любого решения x(t), t, системы (1), график которого расположен в G, имеет место тождество
Vt.
Без доказательства.
Лемма 2.
Дифференцируемая функция U (t, x), U:GR
,
представляет собой первый интеграл системы (1) тогда и только тогда, когда производная U в сил
Необходимость.
Пусть U (t, x) есть первый интеграл системы (1). Тогда для любого решения x(t) этой системы, применяя лемму 1
будем иметь тождества
U
Откуда при t=t получим равенство U(t справедливое при всех значениях t и x(t). Необходимость доказана.
Достаточность.
Пусть теперь U при всех (t, x) Тогда для любого решения x(t) системы (1) на основании леммы1
будем иметь тождества
а с ним и достаточность.
Из определения первого интеграла следует, что постоянная на G функция также является первым интегралом системы (1). Первый интеграл U (t, x) будем называть на G, если при всех (t, x) выполняется неравенство.
Функцию U(x) будем называть стационарным первым интегралом
системы (1), если она не зависит от t и является первым интегралом системы (1).
Найдем первый интеграл нашей системы:
Возведем в квадрат и выразим с
y
Положим , получим
Проверим, что функция – это первый интеграл системы (1), т.е. проверим выполнение тождества (2)
Найдем производные по t, x, y
После выше сделанных преобразований получаем, что функция – это первый интеграл системы (1),
2) Положим , т.е. ,
где , Q
3) Проверим выполнение тождества:
(3), где
Преобразуем (3).
[в нашем случае ] = =[учитывая все сделанные обозначения] =
=
=
=[ввиду того, что которое в свою очередь как мы уже показали есть тождественный ноль]
Таким образом, тождество (3) истинное.
4. Отражающая функция
Определение.
Рассмотрим систему
(5)
cчитая, что правая часть которой непрерывна и имеет непрерывные частные производные по . Общее решение в форме Коши обозначено через ). Через обозначим интервал существования решения .
Пусть
Отражающей функцией
системы (5) назовём дифференцируемую функцию , определяемую формулой
Для отражающей функции справедливы свойства:
1.) для любого решения системы (5) верно тождество
2.) для отражающей функции F любой системы выполнены тождества
3) дифференцируемая функция будет отражающей функцией системы (5) тогда и только тогда, когда она удовлетворяет системе уравнений в частных производных
и начальному условию
5. Применение теоремы об эквивалентности дифференциальных систем
Получаем где - любая нечетная непрерывная функция.
Наряду с дифференциальной системой (1)
рассмотрим возмущенную систему(2), где - любая непрерывная нечетная функция. Известно по [3], что дифференциальная система (3)
эквивалентна возмущенной системе
(4), где непрерывная скалярная нечетная функция удовлетворяющая уравнению
Так как выше уже показано, что функция где {есть первый интеграл} удовлетворяет этому уравнению, то справедлива следующая теорема.
Теорема1.
Система (1) эквивалентна системе (2) в смысле совпадения отражающей функции.
Так как система (1) имеет две особые точки, в каждой из которых находится центр, то и система (2) имеет центры в этих точках.
Заключение
В данной курсовой работе рассмотрена вложимая система с известным типом точек покоя, проверено удовлетворение общего решения нашей системе, найдены первый интеграл и проверено выполнение тождества, затем с помощью теоремы 1 доказана эквивалентность дифференциальных систем. Сформулированы определения вложимой системы, первого интеграла, отражающей функции и общие свойства отражающей функции. Cформулирована теорема при помощи которой мы доказали эквивалентность нашей системы с дифференциальной системой.
Список использованных источников
1. Мироненко В.И. Линейная зависимость функций вдоль решений дифференциальных уравнений. – Мн., Изд-во БГУ им. В.И. Ленина, 1981, 50 – 51 с.
2. Мироненко В.И. Отражающая функция и периодические решения дифференциальных уравнений. – Мн.: изд-во «Университетское», 1986, 11,17 – 19 с.
3. Мироненко В.В. Возмущения дифференциальных систем, не изменяющие временных симметрий. 2004 г.