Содержание
1) Основное понятие неравенства
2) Основные свойства числовых неравенств. Неравенства содержащие переменную.
3) Графическое решение неравенств второй степени
4) Системы неравенств. Неравенства и системы неравенств с двумя переменными.
5) Решение рациональных неравенств методом интервалов
6) Решение неравенств, содержащих переменную под знаком модуля
1. Основное понятие неравенства
Неравенство [inequality] — соотношение между числами (или любыми математическими выражениями, способными принимать численное значение), указывающее, какое из них больше или меньше другого. Над этими выражениями можно по определенным правилам производить следующие действия: сложение, вычитание, умножение и деление (причем при умножении или делении Н. на отрицательное число смысл его меняется на противоположный). Одно из основных понятий линейного программирования
— линейные неравенства
вида
a
1
x
1
+ a
2
x
2
+... + an
xn
* b
,
где a
1
,..., an
, b
— постоянные и знак * — один из знаков неравенства, напр. ≥, <, ≤.
В матричной алгебре
знак ≥ означает что все элементы матрицы
, расположенной слева, не меньше (а хотя бы часть из них больше) соответствующих элементов матрицы, расположенной справа. В отличие от этого знак ≤ означает, что все элементы левой матрицы не меньше соответствующих элементов правой матрицы; в частности, все соответствующие элементы могут быть попарно равны. (Иногда применяются и другие обозначения.)
Классификация неравенств
Неравенства, содержащие неизвестные величины, подразделяются на:[1]
· алгебраические
· трансцендентные
Алгебраические неравенства подразделяются на неравенства первой, второй, и т. д. степени.
Пример:
Неравенство - алгебраическое, второй степени.
Неравенство - трансцендентное.
2.
Основные свойства числовых неравенств
. Неравенства содержащие переменную
1) Если a>b , b<a;
2) Если a>b b>c a>c;
3) Если a>b a+c>b+c;
4) Если a+b>c a> c-b;
5) Если обе части верного неравенства умножить на одно и то же положительное число, то получится верное неравенство;
6) Если обе части верного неравенства умножить на одно и то же число и изменить знак на противоположный, то получится верное неравенство;
7) Множество всех х, при которых имеют смысл выражения f(x) и g(x), называется областью определения неравенства f(x) >g(x);
8) Два неравенства, содержащие одну и ту же переменную, называются равносильными, если они имеют общее множество решений (множество решений этих неравенств совпадают);
9) Если к обеим частям неравенства прибавить(или вычесть) любую функцию J(x). область определения которой содержит область определения неравенств, то получится новое неравенств, равносильное данному;
10) Если обе части неравенства f(x) >g(x) умножить (или разделить) на любую функцию J(x), определенную для всех значений переменной х из области определения данного неравенства, сохраняющую постоянный знак и отличную от нуля, то при J(x)>0 получится неравенство, равносильное данном, а при J(x)<0 равносильным данному является неравенство противоположного знака.
Неравенства с одной переменной.
Пусть дано неравенство f(x) >g(x). Всякое значение переменной, при котором данное неравенство с одной переменной обращается в верное числовое неравенство, называется решением неравенства с одной переменной. Решить неравенство с переменной - значит найти все его решения или доказать, что их нет.
Два неравенства с одной переменной называются равносильными, если решения этих неравенств совпадают.
3. Графическое решение неравенств второй степени
1) Графиком квадратичной функции y = ах2
+bх + с
является парабола с ветвями, направленными вверх, если а > 0
, и вниз, если а < 0
(иногда говорят, что парабола направлена выпуклостью вниз, если а > 0
и выпуклостью вверх, если а < 0
). При этом возможны три случая:
2) Парабола пересекает ось 0х (т. е. уравнение ах2
+ bх + с = 0
имеет два различных корня). То есть, если а<0 то решением неравенства является множество [x1;x2].
y = ах2
+bх + с
a>0 D>0
y = ах2
+bх + с
a
<0
D
>0,
Парабола имеет вершину на оси 0х (т. е. уравнение ах2
+ х + с = 0
имеет один корень, так называемый двукратный корень) То есть, если d=0, то при a>0 решением неравенства служит вся числовая прямая, а при a<0 единственная точка х1, являющаяся единственным корнем квадратного трехчлена ах2
+ х + с
y = ах2
+bх + с
a>0 D
=
0
y = ах2
+bх + с
a
<0
D
=0,
3) Если d<0 то график квадратного трехчлена f(x) = ах2
+bх + с не пересекает ось Ох и лежит выше этой оси при a>0 и ниже ее при a<0 В первом случае множество решений неравенства есть вся числовая прямая, а во втором оно является пустым.
4)
y = ах2
+bх + с
a>0 D
<
0
y = ах2
+bх + с
a
<0
D<
0,
4) Решить неравенство графическим способом
1) 3х2
-4х ;
3х2
-4х.
1. Пусть f(x) = 3х2
-4х - 7 тогда найдем такие х
2. Найдем нули функции.
3х2
-4х-7=0,
D=100,
Х=-1 Х=73.
f(x) при х .
Ответ f(x) при х .
2) х2
>-4x-5;
x2
+4x +5>0;
Пусть f(x)=х2
+4х +5 тогда Найдем такие х при которых f(x)>0,
X2
+4x+5=0,
D=-4 Нет нулей.
Ответ .
4. Системы неравенств. Неравенства и системы неравенств с двумя переменными
1) Множество решений системы неравенств есть пересечение множеств решений входящих в нее неравенств.
2) Множество решений неравенства f(х;у)>0 можно графически изобразить на координатной плоскости. Обычно линия, заданная уравнением f(х;у)=0 ,разбивает плоскость на 2 части, одна из которых является решением неравенства. Чтобы определить, какая из частей, надо подставить координаты произвольной точки М(х0;у0) , не лежащей на линии f(х;у)=0, в неравенство. Если f(х0;у0) > 0 , то решением неравенства является часть плоскости, содержащая точку М0. если f(х0;у0)<0, то другая часть плоскости.
3) Множество решений системы неравенств есть пересечение множеств решений входящих в нее неравенств. Пусть, например, задана система неравенств:
.
Для первого неравенства множество решений есть круг радиусом 2 и с центром в начале координат, а для второго- полуплоскость, расположенная над прямой 2х+3у=0. Множеством решений данной системы служит пересечение указанных множеств, т.е. полукруг.
4) Пример. Решить систему неравенств:
Решением 1-го неравенства служит множество , 2-го множество (2;7) и третьего - множество .
Пересечением указанных множеств является промежуток(2;3], который и есть множество решений системы неравенств.
5. Решение рациональных неравенств методом интервалов
В основе метода интервалов лежит следующее свойство двучлена (х-а
): точка х=α
делит числовую ось на две части — справа от точки α
двучлен (х‑α)>0
, а слева от точки α (х-α)<0
.
Пусть требуется решить неравенство (x-α1
)(x-α2
)...(x-αn
)>0
, где α1
, α2
...αn-1
, αn
— фиксированные числа, среди которых нет равных, причем такие, что α1
< α2
<...< αn-1
< αn
. Для решения неравенства (x-α1
)(x-α2
)...(x‑αn
)>0
методом интервалов поступают следующим образом: на числовую ось наносят числа α1
, α2
...αn-1
, αn
; в промежутке справа от наибольшего из них, т.е. числа αn
, ставят знак «плюс», в следующем за ним справа налево интервале ставят знак «минус», затем — знак «плюс», затем знак «минус» и т.д. Тогда множество всех решений неравенства (x-α1
)(x‑α2
)...(x-αn
)>0
будет объединение всех промежутков, в которых поставлен знак «плюс», а множество решений неравенства (x-α1
)(x-α2
)...(x‑αn
)<0
будет объединение всех промежутков, в которых поставлен знак «минус».
1) Решение рациональных неравенств (т.е неравенств вида P(x) Q(x) где – многочлены) основано на следующем свойстве непрерывной функции: если непрерывная функция обращается в нуль в точках х1 и х2 (х1;х2) и между этими точками не имеет других корней, то в промежутках(х1;х2) функция сохраняет свой знак.
Поэтому для нахождения промежутков знакопостоянства функции y=f(x) на числовой прямой отмечают все точки, в которых функция f(x) обращается в нуль или терпит разрыв. Эти точки разбивают числовую прямую на несколько промежутков, внутри каждого из которых функция f(x) непрерывна и не обращается в нуль, т.е. сохраняет знак. Чтобы определить этот знак, достаточно найти знак функции в какой либо точке рассматриваемого промежутка числовой прямой.
2) Для определения интервалов знакопостоянства рациональной функции, т.е. Для решения рационального неравенства, отмечаем на числовой прямой корни числителя и корни знаменателя, которые как и являются корнями и точками разрыва рациональной функции.
Решение неравенств методом интервалов
3. < 20.
Решение
. Область допустимых значений определяется системой неравенств:
.
Для функции f(x)
= – 20. Находим f(x)
:
откуда x
= 29 и x
= 13.
f
(30) = – 20 = 0,3 > 0,
f
(5) = – 1 – 20 = – 10 < 0.
Ответ:
[4; 29).
х2
+х-2
Пусть f(x)=х2
+х-2 тогда найдем такие х при которых f(x)<0.
Найдем нули х=1, х=-2.
х3
-4х<0
x(x2
-4)<0
x(x-2)(x+2)<0
x=0 x=2 x=-2
6. Решение неравенств, содержащих переменную под знаком модуля
Решение неравенства, содержащего выражение , приводит к рассмотрению двух случаев:
Можно воспользоваться геометрической интерпретацией модуля действительного числа, согласно которой |a| означает расстояние точки а
координатной прямой от начала отсчета О
, а |a-b| означает расстояние между точками а
и b
на координатной прямой.
Можно использовать метод возведения в квадрат обеих частей неравенства, основанный на следующей теореме. Если выражения f(x) и g(x) при любых х
принимают только неотрицательные значения, то неравенства f(x)>g(x) и (f(x))2
>(g(x))2
равносильны.
Можно использовать свойства неравенств, содержащих переменную под знаком модуля:
Решить неравенство:
.
Объединяя результаты получим .