В данной работе рассмотрен метод комплексных чисел в планиметрии, применение его критериев в задачах элементарного характера на темы – «Параллельность, коллинеарность, перпендикулярность», «Углы и площади», «Многоугольники», «Прямая и окружность».
Метод комплексных чисел в иностранной литературе используется достаточно широко. Однако в отечественной литературе этот метод не получил широкого распространения. Имеются отдельные фрагменты в книге З. А. Скопеца. Систематическое изложение этого метода дано в книге Я. П. Понарина «Алгебра комплексных чисел в геометрических задачах». Нами выбраны и решены на наш взгляд наиболее интересные задачи, выполняемые этим методом.
Метод комплексных чисел позволяет решать планиметрические задачи прямым вычислением по готовым формулам. Выбор этих формул с очевидностью диктуется условием задачи и её требованием. В этом состоит необычайная простота этого метода по сравнению с векторным и координатным методами, методом геометрических преобразований, конструктивно-синтетическим методом, требующими от решающего порой немалой сообразительности и длительных поисков, хотя при этом готовое решение может быть коротким.
§ 1 Параллельность, коллинеарность, перпендикулярность.
1.1. Коллинеарность векторов
.
(1.2)
1.2. Коллинеарность трёх точек
.
(1.3)
Это – критерий принадлежности точек А, В, С одной прямой
.
(1.5)
определяет прямую, содержащую хорду АВ
единичной окружности.
1.3. Перпендикулярность отрезков (векторов)
.
(1.7)
Уравнение касательной
(1.8)
(1.9)
З а д а ч а 1. Доказать, что точки пересечения прямых, содержащих стороны треугольника, с касательными к описанной окружности в противоположных им вершинах коллинеарны.
§ 2 Углы и площади
2.1. Угол между векторами.
(2.1)
(2.2)
2.2. Площадь треугольника
(2.3)
З а д а ч а 2. Основание D
высотыCD
треугольникаABC
делит сторонуAB
в отношении 3:1
. Угол ACD
вдвое больше угла BCD
. Вычислить углы треугольника ABC
.
§ 3 Многоугольники
3.1. Подобные треугольники.
(3.1)
где – комплексное число, – коэффициент подобия.
(3.2)
где – комплексное число, – коэффициент подобия.
Если , то треугольники и равны. Тогда соотношение (3.1) – признак равенства одинаково ориентированных треугольников, а соотношение (3.2) – признак равенства противоположно ориентированных треугольников.
3.2. Критерий правильного треугольника
.
Треугольник ориентирован положительно:
(3.4)
Треугольник ориентирован отрицательно:
(3.5)
3.3 Правильные многоугольники.
где k
принимает значения . Все n
значений имеют один и тот же модуль
Корням уравнения
соответствуют вершины .
З а д а ч а 3. Точки симметричны точке Р
,лежащей в плоскости треугольника ABC
,
относительно, соответственно, прямых AB
,
BC
,
CA
.
Точки – середины отрезков Докажите, что треугольники и подобны и противоположно ориентированы (рис. 5).
З а д а ч а 4. На сторонах и выпуклого четырёхугольника вне его построены правильные треугольники и а на сторонах и построены правильные треугольники и лежащие с четырёхугольником в одной полуплоскости относительно прямых и соответственно. Докажите, что –параллелограмм (рис. 6).
З а д а ч а 5. Точка делит сторону правильного треугольника в отношении 3:2 считая от точки . Точка делит сторону в отношении 3:14, считая от точки . Отрезки и пересекаются в точке. Докаж
З а д а ч а 6. Через центр правильного треугольника проведена прямая. Доказать, что сумма квадратов расстояний от вершин треугольника до прямой не зависит от выбора прямой.
З а д а ч а 7. Пусть d – диаметр окружности, и
– стороны вписанного в неё и описанного около
неё правильных n-угольников. Докажите, что
(рис. 9).
§ 4 Прямая и окружность
4.1. Уравнение прямой
.
(4.1)
Пусть коэффициенты a
иb
не обращаются в нуль одновременно. Приходим к уравнению: которое а) имеет единственное решение при б) имеет бесконечное множество решений при
Отсюда и на основании предыдущих исследований получаем, что уравнение (4.1) определяет а) единственную точку при б) прямую при в) пустое множество при
4.3. Общее уравнение окружности в сопряжённых комлексных координатах
.
Окружность с центром S
(
s
)
и радиусом R
имеет уравнение
(4.2)
где z
– координата переменной точки окружности.
(4.4)
Сравнивая уравнение (4.3) с уравнением (4.2) приходим к выводу, что уравнения (4.3) и (4.2) задают окружность тогда и только тогда, когда и ab
-
c
– действительное число. Отсюда , а значит, с
должно быть действительным числом. Итак, уравнение
(4.5)
есть уравнение окружности с центром и радиусом
4.4. Уравнение окружности по трём данным точкам
.
Пусть окружность проходит через точки A
,
B
,
C
.
Тогда однородная линейная система
относительно имеет ненулевое решение (так как окружности определяются тремя неколлинеарными точками), поэтому её определитель равен нулю:
(4.6)
Это уравнение представляет собой уравнение окружности по трём данным точкам.
4.5. Ортогональные окружности.
Две пересекающиеся окружности называются ортогональными
, если касательные к ним в их общей точке перпендикулярны. Очевидно, что касательная к одной из окружностей в их общей точке содержит центр другой окружности.
Даны две окружности (
A
,
R
)
и (
B
,
r
),
заданные соответственно уравнениями: где и где Для того, чтобы эти окружности были ортогональны, необходимо и достаточно, чтобы или
(4.7)
или
(4.8)
З а д а ч а 7. В плоскости даны два отрезка AB
иCD
. Найдите множество точек М
, для каждой из которых площади треугольников MAB
иMDC
равны (рис. 10).
З а д а ч а 9.На гипотенузе AB
прямоугольного треугольникаABC
дана произвольная точкаP
.
Докажите, что окружности, описанные около треугольниковAPC
и BPC
, ортогональны.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Примем вершину С
данного треугольника за начальную точку. Пусть точкам А, В,
P
соответствуют комплексные числа 1,
b
,
p
,
а центрам окружностей РАС
и РВС
числа (рис. 11). По условию или . Переходя к комплексным числам, получаем: откуда .
Руководствуясь (4.6), составим уравнение окружности РВС
:
или
После раскрытия определителя получаем:
или
откуда
Из уравнения находим:
Аналогично, для окружности Р
A
С
имеем:
и
отсюда
Согласно критерию (4.8) для того, чтобы окружности РАС
и РВС
были ортогональны необходимо и достаточно, чтобы Учитывая предыдущие результаты, проверим выполнимость данного критерия:
Таким образом, окружности РАС
и РВС
являются ортогональными.