Гомельский Государственный университет имени Франциска Скорины
Курсовая работа
«Дифференциальные системы, эквивалентные автономным системам с известным первым интегралом»
Гомель 2006
Реферат
Курсовая работа состоит из 19 страниц, 3-х источников.
Ключевые слова: эквивалентная система, первый интеграл дифференциальной системы, отражающая функция, эквивалентность систем в смысле совпадения отражающих функций, непрерывно дифференцируемая функция, непрерывная скалярная нечётная функция.
Целью курсовой работы является нахождение связи между первым интегралом системы и эквивалентными системами.
Содержание
Введение
Отражающая функция
Первый интеграл дифференциальной системы и условия его существования
Возмущения дифференциальных систем, не изменяющих временных симметрий
Общее решение
Заключение
Список использованных источников
Введение
В курсовой работе мы находим связь между первым интегралом и эквивалентными системами.
В результате приходим к теореме,
которая звучит так:
Пусть первый интеграл системы , (1). Если , удовлетворяет уравнению , то указанная система эквивалентна системе , , (2). И если, кроме того , где - некоторая функция (-может равняться const), тогда первый интеграл системы (2) выражается следующей формулой , где и .
Отражающая функция
Определение. Рассмотрим систему
(1)
cчитая, что правая часть которой непрерывна и имеет непрерывные частные производные по . Общее решение в форме Коши обозначено через ). Через обозначим интервал существования решения .
Пусть
Отражающей функцией
системы (1) назовём дифференцируемую функцию , определяемую формулой
Для отражающей функции справедливы свойства:
1.) для любого решения системы (1) верно тождество
2.) для отражающей функции F любой системы выполнены тождества
3) дифференцируемая функция будет отражающей функцией системы (1) тогда и только тогда, когда она удовлетворяет системе уравнений в частных производных
и начальному условию
Рассмотрим систему (1*) считая, что её правая часть непрерывно дифференцируемая. Будем говорить, что множество систем вида (1*) образует класс эквивалентности, если существует дифференцируемая функция со свойствами: 1) отражающая функция любой системы из рассматриваемого множества совпадает в области определения с функцией ; 2) Любая система вида (1*), отражающая функция которая совпадает в области с функцией , содержится в рассматриваемом множестве.
Две системы вида (1*), принадлежащие одному классу эквивалентности, будем называть эквивалентными
. Допуская определённую вольность речи, будем говорить также, что они имеют одну и ту же отражающую функцию. Функцию при этом будем называть отражающей функцией класса, а класс – соответствующим отражающей функции .
Первый интеграл дифференциальной системы и условия его существования
Рассмотрим систему = (1)
с непрерывной в области D функцией f. Дифференцируемая функция U (t, x), заданная в некоторой подобласти G области D, называется первым интегралом системы
(1) в области G, если для любого решения x(t), t, системы (1), график которого расположен в G функция U (t, x(t)), t, постоянна, т.е. U (t, x(t)) зависит только от выбора решения x(t) и не зависит от t.
Пусть V (t, x), V:GR
, есть некоторая функция. Производной от функции V в силу системы (1) назовем функцию V VR,
определяемую равенством
.
Обозначим V (t, x(t))t.
Лемма
Дифференцируемая функция U (t, x), U:GR
,
представляет собой первый интеграл системы (1) тогда и только тогда, когда производная U в силу системы (1) тождественно в G обращается в нуль.
Необходимость. Пусть U (t, x) есть первый интеграл системы (1). Тогда для любого решения x(t) этой системы на основании определения, будем иметь тождества
U
Откуда при t=t получим равенство U(t справедливое при всех значениях t и x(t). Необходимость доказана.
Достаточность. Пусть теперь U при всех (t, x) Тогда для любого решения x(t) системы (1) из определения будем иметь тождества
а с ним и достаточность.
Из определения первого интеграла следует, что постоянная на G функция также является первым интегралом системы (1). По этому первым интегралом на G будем называть функцию , для которой выполняется неравенство
и
Функцию U(x) будем называть стационарным первым интегралом
системы (1), если она не зависит от t и является первым интегралом системы (1).
Возмущения дифференциальных систем, не изменяющие временных симметрий
Наряду с исходной дифференциальной системой
будем рассматривать множество возмущённых систем
где непрерывная скалярная нечётная функция, а произвольная непрерывно дифференцируемая вектор-функция. Выясним вопрос об эквивалентности в смысле совпадения отражающих функций дифференциальных систем (1) и (2). При совпадении отражающих функций двух систем совпадают их операторы сдвига на симметричном промежутке вида и, значит, для периодических систем совпадают их отображения за период .
Как известно, отражающая функция системы (1) обязана удовлетворять соотношению
Если вектор-функция, а
вектор-столбец, то полагаем
,
Лемма 1.
Для любых трёх вектор-функций из которых функция дважды непрерывно дифференцируема, а функции и дифференцируемы, имеет место тождество
Лемма 2
.
Пусть отражающая функция системы с непрерывно дифференцируемой правой частью. Тогда для каждой непрерывно дифференцируемой вектор функции функция
удовлетворяет тождеству
Доказательство. Учитывая соотношение , простыми выкладками установим тождества
К первым двум слагаемым последней части этого тождества применим тождество . Тогда после несложных формальных преобразований придём к соотношению
Прибавим к левой и правой частям этого соотношения выражение придём к нужному нам тождеству
Лемма доказана.
Теорема 1
Пусть вектор-функция является решением дифференциального уравнения в частных производных
Тогда возмущённая дифференциальная система
,
где - произвольная непрерывная скалярная нечётная функция, эквивалентна дифференциальной системе .
Доказательство.
Пусть отражающая функция системы . Следовательно, эта функция удовлетворяет дифференциальному уравнению . Покажем,
Для этого введём функцию по формуле . Согласно лемме 2, эта функция удовлетворяет тождеству . При условиях доказываемой теоремы с учётом соотношения это тождество переписывается в виде
Кроме того, поскольку для всякой отражающей функции верно тождество , имеет место соотношения
.
Таким образом, функция является решением задачи Коши
Решение этой задачи существует и единственно. Следовательно, имеет место тождество влекущее за собой тождество .
Теперь покажем, что отражающая функция системы является также и отражающей функцией системы . Для этого нужно проверить выполнение основного соотношения , которое в данном случае должно быть переписано в виде
Действительно, последовательно преобразовывая левую часть последнего соотношения и учитывая нечётность функции приходим к следующей цепочке тождеств:
Оба слагаемых, стоящих в квадратных скобках, тождественно равны нулю. Первое – в силу того, что для отражающей функции системы верно тождество , второе – потому, что при условиях теоремы верно тождество . Следовательно, тождество выполняется и функция является отражающей функцией системы . Теорема доказана.
А теперь рассмотрим пример.
Пример
Рассмотрим систему
в которой непрерывные и периодические функции , таковы, что и – нечётные функции.
Эта система эквивалентна стационарной системе
Здесь и , ,
.
Так как стационарная система имеет асимптотически устойчивый предельный цикл , которому соответствуют периодические решения, то из сказанного следует, что все решения , рассматриваемой системы, начинающиеся при на окружности , являются периодическими, а каждое из остальных решений, кроме нулевого, при стремится к одному из указанных периодических.
Общее решение системы
Рассмотрим две дифференциальные системы
, (1)
, , , (2)
где - непрерывная скалярная нечётная функция, -произвольная непрерывно дифференцируемая функция.
Лемма 1
Для любой нечётной функции , определённой в окрестности , справедливо .
Доказательство.
Так как - непрерывная нечётная функция, то и
при
Лемма 2
Пусть есть первый интеграл системы . Тогда есть первый интеграл системы .
Доказательство. Т.к. есть первый интеграл системы , то его производная в силу системы равна , т.е. .
Полагая здесь , получаем , что и означает что первый интеграл системы
.
Теорема 1.
Пусть – отражающая функция системы и удовлетворяет следующему соотношению (3)
Тогда система эквивалентна системе в смысле совпадения отражающих функций.
Доказательство. Поскольку отражающая функция системы , то (4). Рассмотрим выражение
(равно т.к. отражающая функция системы )+(равно по ) (4)
означает, что отражающая функция системы . Поскольку у систем и отражающие функции совпадают, то системы и эквивалентны в смысле совпадения отражающих функций.
Введём такие обозначения
и - семейства функций, являющиеся решениями систем и , соответственно и - решение систем и соответственно.
Лемма 4
Пусть первый интеграл системы . Если выполнено соотношение (5), где некоторая функция, то есть первый интеграл системы , где .
Доказательство. Так как , то удовлетворяет уравнению , так как , то . Умножим обе части справа на , получим . Перенесём всё в левую часть и к левой части прибавим выражение . Так как - первый интеграл, получим . Т.е. производная функции в силу системы равна , а это означает, что есть первый интеграл системы . Ч.т.д.
Лемма 5
. Если удовлетворяет следующему уравнению в частных производных:
(6), где - правая часть системы (1), первый интеграл (2), то система (1) эквивалентна системе (2), у которой в смысле совпадения отражающей функции.
Доказательство. Умножим (6) на скалярную функцию , получим:
(7)
Так как - первый интеграл системы (1), то
(8)
Прибавим (7) к (8) и преобразуем, получим: . Таким образом, удовлетворяет теореме 1 (если удовлетворяет , то (1) эквивалентно (2) и значит, если , то система (2) эквивалентна системе (1).
Теорема 2
Пусть первый интеграл системы (1). Если , удовлетворяет уравнению (6), то система (1) эквивалентна системе (2). И если, кроме того (9), где - некоторая функция (-может равняться const), тогда первый интеграл системы (2) выражается следующей формулой , где и .
Доказательство.
Доказательство 1-й части теоремы прямо из леммы 3.
Требуется доказать вторую часть теоремы. Найдём производную в силу системы (2)
и
обозначим её (*).
Выражение в […]=0, так как -первый интеграл системы (1), (*) преобразуется в следующее выражение
[так как ]= (**)
Так как удовлетворяет уравнению , то таким образом (**)=0, что и означает, что первый интеграл системы (2). Требование вытекает из леммы 2
.
Лемма
Пусть системы и эквивалентны в смысле совпадения отражающих функций. Пусть их отражающая функция и пусть есть первый интеграл системы , тогда U
, , и .
Доказательство. Возьмём произвольное решение системы . Покажем, что на нём U
обращается в постоянную.
Действительно, т. к. отражающая функция, то . По определению функции и т. к. первый интеграл системы , то U
.
То, что U
очевидно. Действительно, возьмём любую функцию . Обозначим по свойству отражающей функции .
Обозначим , так как только функциям из сопоставляет функции из , то и по определению первого интеграла U
отлична от и обращается в только вдоль решений системы . А это и означает, что U
– первый интеграл системы .
(U
удовлетворяет лемме 2).
Лемма даёт понимание первого интеграла и взаимосвязи первых интегралов возмущённой и не возмущённой систем.
Заключение
В данной работе рассмотрены эквивалентные системы. Сформулирована теорема, которая говорит об эквивалентности систем. Сформулированы и доказаны леммы, которые применяются для доказательства теоремы.
Сформулированы определения дифференциальных систем, эквивалентных систем в смысле совпадения отражающих функций, первого интеграла, определение отражающей функции и общие свойства отражающей функции.
Список использованных источников
1. Мироненко В.И. Линейная зависимость функций вдоль решений дифференциальных уравнений. – Мн., Изд-во БГУ им. В.И. Ленина, 1981, 50 – 51 с.
2. Мироненко В.И. Отражающая функция и периодические решения дифференциальных уравнений. – Мн.: изд-во «Университетское», 1986, 11,17 – 19 с.
3. Мироненко В.В. Возмущения дифференциальных систем, не изменяющие временных симметрий. 2004 г.