Министерство образования и науки Российской Федерации
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Кафедра "Высшей математики"
Расчётно-графическая работа по теме:
Математические методы исследования экономики.
(системы массового обслуживания)
Выполнила: ХХХХХХХХ. Проверил: ХХХХХХ Дата
Студент групп ХХХХ Оценка:
Данная работа представляет собой анализ системы массового обслуживания. В ней проводится расчёт основных показателей СМО, которые непосредственно влияют на её работу.
Целью данной расчётно-графической работы является получение теоретических и практических знаний и навыков по анализу систем массового обслуживания (на примере продуктового магазина).
При проведении анализа были использованы элементы теории массового обслуживания, а так же элементы теории вероятностей и математической статистики.
|
Информация о рассматриваемой системе массового обслуживания (СМО).
Наименование организации:
Род деятельности: продуктовый магазин
Место расположения:
Время работы:
с 8.00 до 23.00, без обеда и выходных
Необходимые данные для анализа системы:
Рассматриваемый промежуток времени:
Рассматриваемое количество обслуживающих приборов:
2
Рассматриваемые дни:
дни с понедельника по воскресенье включительно.
Рассматриваемый промежуток времени:
17.00 – 19.00
(период наибольшей загруженности системы)
Рассматриваемая единица времени:
t = 7,1 минут
X1
, X2
, …, Xn
– число поступивших клиентов в единицу времени.
Y1
, Y2
, …, Yn
– количество обслуженных клиентов в течение единицы времени.
| X | Y |
| 10 | 6 |
| 7 | 4 |
| 5 | 4 |
| 8 | 6 |
| 7 | 5 |
| 5 | 4 |
| 6 | 5 |
| 8 | 6 |
| 7 | 4 |
| 5 | 4 |
| 5 | 4 |
| 8 | 6 |
| 4 | 4 |
| 7 | 6 |
| 5 | 5 |
| 9 | 6 |
| 5 | 4 |
| 7 | 6 |
| 8 | 5 |
| 5 | 5 |
| 8 | 6 |
| 5 | 5 |
| 7 | 5 |
| 8 | 6 |
| 6 | 4 |
| 6 | 4 |
| 8 | 6 |
| 7 | 6 |
| 5 | 5 |
| 7 | 6 |
Проверив данные выборки на подтверждение гипотезы о том, что они из распределения Пуассона, получаем результат: По Х и по У гипотеза подтверждается.
Согласно проверенным выше гипотезам, мы описываем систему массового обслуживания вида:
<М│М│2> (с очередью).
где: <М│
- функция распределения промежутка времени между приходами вызовов (т.е. характеристика входного потока);
│М│ -
функция распределения времени обслуживания (т.е. характеристика времени обслуживания);
│2> –
число приборов в системе;
(с очередью) –
дисциплина обслуживания.
λк
= λ
μк
=
λк
= 6,6
μк
=
Проанализируем полученные выборки как выборки из распределения Пуассона.
Пусть X
(t
) – число клиентов в системе в момент t
с характеристиками:
Где λ
k
– интенсивность поступления клиентов
:
- среднее число клиентов, поступивших в систему, когда система находится в состоянии k в единицу времени.
µ
k
– интенсивность обслуживания клиентов
:
- характеризует среднее число обслуженных клиентов в системе, когда система находится в состоянии k в единицу времени.
Следовательно:
- интенсивность поступления клиентов в систему.
- интенсивность обслуживания клиентов.
Определим основные характеристики системы:
Определим коэффициент загруженности системы :
, следовательно, условие стационарности выполняется, так как
В условиях существования стационарного режима
S = 3.3
- доля времени простоя
(1.29k
/ k!) * 0.23, 0≤ к≤ 2
Pk
= (1.29k
/ 2*2k-2
) * 0.23, к > 2
- вероятность того, что в системе k клиентов
Рз
= рm
/ (m-1)!(1+S)(m-p) = 1,292
/( 2-1)!(1+3,3)(2-1,29) = 0,545
- вероятность, что все приборы заняты
Eq
= Рз
/ µ( m –p) = 0,545 /5,1*( 2-1,29) = 0,151 единицы времени,
т.е 0,151*7,1 =1,072 минуты в среднем клиент проводит в очереди
Ev
= Eq
+1/µ = 0.151 * 1/5.1 = 0.229 единицы времени.
т.е. 0,229*7,1 = 1,626 минуты клиент в среднем пребывает в системе
Ex
= λ* Ev
= 6,6*0,229 = 1,51- среднее число клиентов в системе в единицу времени (7,1 минут).
Для того чтобы система массового обслуживания работала эффективно, необходимо, чтобы выполнялись следующие условия:
P0
≤ 0,1
Для рассматриваемой системы P0
= 0,23 > 0,1 , это означает, что система работает с чрезмерным простоем и несет тем самым финансовые потери.
Следующее условие, которое должно выполняться:
,
То есть должно выполняться: Eq
≤ 0,392, а в нашем случае Eq
= 0,151 единицы времени, то есть условие выполняется.
Рассчитаем значение μ, необходимое для снижения времени простоя системы.
; ; ; ; µ ( 3,3; 4,02]
Прежде чем заново рассчитывать характеристики системы, решим неравенство
µ ( -оо;4,02][4,02;+оо)
и посмотрим пересечение интервалов значения , при фиксированном значении. Решением системы неравенств является единственное значение µ=4,02.
Теперь рассчитаем основные характеристики системы при λ = 6,6 и скорректированном значении µ=4,02.
р = 6,6/4,02 = 1,64
S = 15.1
P0
= 1/1+S = 0.061 доля временипростоя
(1.64k
/ k!) * 0.061, 0≤ к≤ 2
Pk
= (1.64k
/ 2*2k-2
) * 0.061, к > 2
- вероятность того, что в системе k клиентов
Рз
= рm
/ (m-1)!(1+S)(m-p) = 1,642
/( 2-1)!(1+15,1)(2-1,64) = 0,46
- вероятность, что все приборы заняты
Eq
= Рз
/ µ( m –p) = 0,46 /4,02*( 2-1,64) = 0,32 единицы времени
т.е 0,32*7,1 =2,25 минуты в среднем клиент проводит в очереди
Ev
= Eq
+1/µ = 0.32 * ¼,02 = 0.569 единицы времени.
т.е. 0,569*7,1=4,04 минуты клиент в среднем пребывает в системе
Ex
= λ* Ev
= 6,6*0,569 = 3,75
- среднее число клиентов в системе.
Теперь поставленные условия выполняются:
P0
≤ 0,1 ( Р0
= 0,061)
( Eq
=0,32< 2/4,02; Eq
= 0,32<0,497
Уменьшение интенсивности обслуживания клиентов приводит к увеличению качества обслуживания клиентов за счет уменьшения доли простоя системы. При времени, проводимом клиентом в очереди – 2.25 минуты это должно привести к привлечению клиентов. Следует учесть, что качество обслуживания влияет на спрос отпускаемой продукции исследуемой системы, что приведет к увеличению прибыли предприятия.
Надо уменьшить интенсивность обслуживания клиентов, что поможет привлечь новых клиентов и получить прибыль.