Решения с подробным описанием Векторы

˙ 1. ˜ ß Œ ß a
= 3i
+ j
Ł b
= 2i
+ 3j
.

(a) ˇ æ Ł Œ Ł Ł Ø ºŁ ß ª º Ł , Ł a
.

(b) ˇ æ Ł Œ a/
2 − b
.

— ł Ł :

(a) ¯æºŁ a
- Π, |a
| - ºŁ Œ a
, ºŁ Œ a/
|a
| Ł Ł ,

Ł æ√ º √æ a
. ˜ºŁ Œ Œ Ł æ ß Œ Œ Ł :

|a
| = 32
+ 12
= 10, ŁæŒ ßØ Œ

(b)

˙ 2. ˜ ß Œ

.

˝ Ø æ Ł t
, Ł Œ ßı

(a) ´ Œ a
Ł b
Œ ººŁ ß.

(b) ´ Œ a
Ł c
ŁŒ º ß.

(c) ´ Œ a
, b
Ł c
Œ º ß.

(d) ´ Œ a
, b
Ł c
Æ ßØ Æ Łæ.

— ł Ł :

(a) ´ Œ a
Ł b
Œ ººŁ ß ª Ł º Œ ª , Œ ª Łı Œ Ł ß Ł º ß.

ˇ æŒ º Œ ł Ł æº Łı Œ Ł -4, ŒŁ º Æß Ł ł Ł ßı Ł ßı Œ Ł :

8/t
= −4 ⇐⇒ t
= −2,
(−2 − 10)/
3 = −4.

(b) ´ Œ a
Ł c
ŁŒ º ß ª Ł º Œ ª , Œ ª Łı æŒ º

Ł 0. Œ º Ł Ł ( æ ßı Ł ŁØ

Ł … ßı Œ Ł ):

(a,b
) = −8t
− 3 + 2 = −8t
− 1 = 0 ⇐⇒ t
= −1/
8.

(c) ´ Œ a
, b
Ł c
Œ º ß ª Ł º Œ ª , Œ ª ºŁ º Ł ß,

— æ º ß º Ł t
= 4 ŁºŁ t
= −2.

(d) ´ Œ a
, b
Ł c
Æ ßØ Æ Łæ ª Ł º Œ ª , Œ ª ºŁ º Ł ß, æ æ º Ø Ł Œ Ł Œ Œ Łı æº Ł º Ł º .

ºŁ º æ Ł ß ø Œ Ł (t
−4)(t
+2).

ß Ł º Ł º Ł t <
−2 ŁºŁ t >
4.

˙ 3. ˜ºŁ Œ a
, |a
| = 2. ˜ºŁ Œ b
, |b
| = 3. ª º

Œ Ł a
Ł b
, ϕ
= 60◦
. ˝ Ø Ł

(a) ˜ºŁ ß Ł ª º Ø ºº º ª , æ ª Œ ı a
Ł b
. (b) ˇº ø ºº º ª , æ ª Œ ı 2a
− b
Ł a
+ 3b
. — ł Ł :

(a) ˜Ł ª ºŁ	ºº º ª , æ ª	Œ	ı a Ł b ,	Œ
Ł	Łæ Œ Œ a − b Ł a + b .	˜ºŁ	Œ	æ Ł
Œ Œ Œ	ßØ Œ Ł ª æŒ º ª	Ł	Ł æ Æ .	Œ º
Ł Ł	ı Œ æ Ł	Œ Œ	Ł Ł	Łı ºŁ
Œ æŁ æ ªº	Ł Ł, æŒ º	Ł	Ł Ł ª	º Ø ºº º ª
æ Æ	æ Ł ŒŁ Æ :

,

√ √

ºŁ ß Ł ª º Ø ß 7 Ł 19.

(b) ˇº ø ºº º ª , ª 2 Œ , ºŁ Œ ª Ł Ł Łı ı Œ . ´ Œ Ł Ł ı Œ

º Ł Ł Łı ºŁ æŁ æ ªº Ł Ł,

º Ł ŁŒ º Ł Æ Ł Ł Æ æ Ł Ł ØŒ Œ , :

˙ 4. ˜ ß			ŒŁ A (3, 5, 4), B (−1, −3, 5), C (−5, −3, 0) Ł O (0, 0, 0).
(a) ˝ Ø Ł Œ æŁ			æ ª º Œ Ł AB Ł AC .
(b) ˝ Ø Ł º ø			4ABC .
(c) ˝ Ø Ł Æœ…			ª º Ø Ł Ł ß OABC .
(d) ˝ Ø Ł ºŁ			ßæ ß Ł Ł ß, ø Ø Ł łŁ ß O .
— ł (a)	Ł :	−5 3 −8 AC~ = C~ − A~ = −3 − 5 = −8 0 4 −4 −1 3 −4 AB~ = B~ − A~ = −3 − 5 = −8 5 4 1
ª	Ł	æŒ Ø ŒŁ Ł æŒ º Ł	Ł	ı	Œ
Ł	Ł Łı ºŁ Œ æŁ æ ªº Œ		Ł.
˜ºŁ a	Œ

.

˜ºŁ a Œ

Œ º ß Ł Ł ı Œ º æ Łæº , æ ßı

Ł ŁØ Ł … ßı Œ Ł .

Œ º Ł Ł Œ

3

(b) ´ Œ oe Ł Ł ı Œ º æ Œ			o , ºŁ		Œ	ª
º ø Ł ºº º ª , ª ß			.
Œ Œ Œ 2 Œ æ ºº º ª Ł ª º ø Æ 2 ł , Œ æ			ª º	ŁŒ,
º Ł	ºŁ ß	Œ ª Ł Ł æ ª º	ŁŒ .
ˇ æ Ł	Œ Ł Ł æ : −5 3 −8 AC~ = C~ − A~ = −3 − 5 = −8 0 4 −4 −1 3 −4 AB~ = B~ − A~ = −3 − 5 = −8 5 4 1
´ß ŁæºŁ	Œ	Ł Ł …ı æ	æ	,	æ Ł
æ	ºŁ	º Ł ß, Œ Ø Ø æ Œ æ		Œ	Ł	ß
ß,	Ø Ł Ø - Œ Ł ß ª Ł ª Œ			æ	æ	.

˜ºŁ a Œ

.

˛ æ º ø ª º ŁŒ

(c) ł ß Ł	Ł …ı Œ º æ	Łæº , º
Æœ… ºº º Ł	, ª Ł Ł	Œ . ˙ Œ Łæº "+",
æºŁ Ł Ł Œ	Æ ØŒ Œ	, Ł " ", æºŁ º .
˛Æœ… ºº º	Ł Ł æ Ł	Œ Œ º ø æ Ł ,
ºŁ d>	ßæ ß. ˝ Ł Œ	æ ºº º Ł
ª º Ł Ł . Ł	Ł ß Æœ… æ æ º 1/3
º ø Ł æ Ł	Ł Ł ß, Ø	ßæ Ł Ł ß. ´ Ø
æŁ ŁŁ ºŁ ß ßæ	Ł Ł ß Ł ºº º Ł	ß, æ Ł Ł Ł ß
º ø Ł 2	ł ( ª º ŁŒ º Ł	ºº º ª ). ˇ
Æœ… Ł Ł ß Æ	6 ł Æœ… æ	æ ø ª ºº º Ł .
ˇ º ı	Ł Æœ… Ł Ł ß æ	ºŁ 6 º
æ ł ª Ł	Ł …ı Œ Ł Ø … łŁ ß æ º ß . −5 0 −5

OC~
= C~
− O~
= −3 − 0 = −3

0 0 0

−1 0 −1

OB~
= B~
− O~
= −3 − 0 = −3

5 0 5

3 0 3

OA~
= A~
− O~
= 5 − 0 = 5 4 0 4

´ß ŁæºŁ æ ł Ł Ł …ı Œ , æ Ł ºŁ º Ł ß, Œ Ø Ø æ Œ æ Œ Ł ß ª Œ , Ø ª , Ø - Œ Ł ß ª Œ .

ˇ æ Ł ºŁ º æ æ ø Ø Ł ß:

ˇ æ ł Ł Ł (OA,~ OB,~ OC~
) = −128. ˛ æ Æœ… Ł Ł ß

64/
3.

(d)	Æß Ø Ł	ºŁ ßæ	ß	Ł	Ł	,	ø	Ø Ł	łŁ ß O æ
æ	Œ Ł	Œ

Œ ,	ŁŒ º ßØ æ Ł , Œ æŒ æ ßæ , ŁºŁ
Œ	ºŁ Œ º æŒ æ Ł, ı ø Ø æ Ł . æ Ł æ
Œ. — ææ	Ł Œ
Ł
Æß º	Ł Œ ºŁ ( ŁŒ º ßØ) Œ º æŒ æ Ł, ı ø Ø
Ł	ŒŁ, Œ , º øŁ Ø º æŒ æ Ł Ł Łı
Œ	Ł Ł .
´ Œ ß	Ł Ł ı Œ º æ ŁØ Œ , º ßØ
ŁŒ º	Æ Ł Œ Ł Æ øŁØ æ Ł Ł ØŒ Œ .
´ß ŁæºŁ	Œ Ł Ł …ı æ æ , æ Ł
æ	ºŁ º Ł ß, Œ Ø Ø æ Œ æ Œ Ł ß
ß,	Ø Ł Ø - Œ Ł ß ª Ł ª Œ æ æ .

˛ Ł ª Ł æŒŁı Ł ŁØ æŒ º ª Ł Ł ı Œ

Œº	æ , ª º	ºŁ	ª	Œ	,	Ø
ºŁ	Œ ŁŁ ª ª Œ	. ˛ æ	º	,	Æß
ºŁ	Œ ŁŁ, º æŒ º	ª Ł	Ł	ºŁ	ºŁ
Œ ,	Œ ßØ Łæı Ł	Œ Ł .
Œ º	ß Ł Ł ı	Œ º	æ	Łæº ,	æ	ßı
Ł	ŁØ Ł … ßı Œ Ł	.
Œ º	Ł Ł Œ

5

˜ºŁ a Œ

.

˜ºŁ Œ ŁŁ Œ OA
~
ΠAB
~
× AC
~
:

.

˙ 5. ˜ ß Œ

.

(a) ˜ Œ , Œ ß a
, b
Ł c
Æ Æ Łæ. (b) ˝ Ø Ł Œ Ł ß Œ d
Æ Łæ .

— ł Ł :

(a) ØŒ Œ æ æ IR3
Æ Æ Łæ ª Ł º Œ ª , Œ ª

ºŁ º Ł ß, æ æ º Ø Ł Œ Ł Łı Œ ,

º .

(b) Æß Ø Ł Œ Ł ß Œ d
Æ Łæ , Æı Ł Ø Ł ŒŁ ø æ ß Łæº x
1
, x
2
Ł x
3
, ax
1
+ bx
2
+ cx
3
= d
, Ł ª ,

łŁ	æŁæ	ŁØ   1 − x 2 + 7x 3 = 6 x 2x 1 + 3x 2 − 3x 3 = 10 .  3x 1 − 2x 2 + 5x 3 = 17
— æłŁ	Ø	Ł	Ø Ø æŁæ ß ŁØ	º	æ

.

˝	Ł	Ł :	º	ı	Ł ł	Ł æŁæ	ß ºŁ Ø ßı	ŁØ æ
Ø	æłŁ	Ø	Ł	Ø æº	æº	ª º	ß
Æ	Ł	æ	Œ	Ł. ˇ Ł	æ	ł ŁØ æŁæ	ŁØ,
æ	æ	øŁı	Ł	Ł Ł	º	ª Æ	Ł Ł æº
- æ	.
º	ß	Æ	Ł æ	Œ Ł	Ł ß Æß	…ı Ł :

(a) ˛Æ æ Ł æ Ł i
Ł j
(æ Œ ø… Ri
↔ Rj
),

(b) Ł æ i
º Łæº r
(æ Œ ø… Ri
→ rRi
), (c) ˙ æ i
ª Ł æ Œ j
(æ Œ ø… Ri
→

Ri
− rRj
),

º Œº æ Ł ŁŁ æłŁ Ø Ł ß æŁæ ß Œ Ł Ł Ø

, Ł … Œ, Æß Œ Ø æ Œ ß º ß º

Æߺ Ł Ł , Ł æ º ß Ł ß Ø Ł Ł Ø ÆߺŁ º Ł. ¨ Œ Ø Ł … Ø Ł Ł Ø ß æłŁ Ø Ł ß æŁæ ß º ªŒ º æ … ł Ł .

Łæ ŁØ æ æº Ø Ł Ø Œ æ æłŁ Ø Łæ

Œ Œ

  1 = 38/ 7 x x 2 = −5/ 21  x 3 = 1/ 21	.
Ł Æ	Œ	Ł	ß	Œ d .