Министерство образования Республики Беларусь
Учреждение образования
"Гомельский государственный университет им. Ф. Скорины"
Математический факультет
Кафедра МПМ
Методика изучения показательной и логарифмической функции в курсе средней школы. Простейшие показательные и логарифмические уравнения и неравенства
Реферат
Исполнитель:
Студентка группы М-32 Малайчук А.Ю.
Научный руководитель:
Канд. физ-мат. наук, доцент Лебедева М.Т.
Гомель 2007
Содержание
Введение
1. Образовательные цели изучения темы "Показательная и логарифмическая функции" в средней школе
2. Методика изучения свойств степеней и логарифмов. Введение определения показательной школе показательной функций, ее свойства и их приложения
З. Понятие обратной функции и методика его введения
4. Методика изучения логарифмической функции, ее свойств и их приложения. Производная показательной и логарифмической функции
Заключение
Литература
Введение
Ознакомление учащихся с показательной и логарифмической функциями начиная с изучения свойств степеней и логарифмов.
Курс алгебры знакомит учащихся с понятием степени с рациональным показателем. Таким образом для любого основания степени (где , ). Можно построить функцию: , , область определения которой – множество действительных чисел, необходимо ввести определение, степени с иррациональным показателем. Используемое свойство степени с основным, например, большим единицы (возрастании), рациональное приближение иррационального числа α: r1
< α< r2
. Исходя из графического изображения зависимости показателя степени и значения степени, показывается, что найдется такое значение y, которое будет наибольшим среди всех ar
1
и наименьшим среди всех ar
2
, которое можно считать значением aα
.
1. Образовательные цели изучения темы "Показательная и логарифмическая функции" в средней школе
Изучение темы "Показательная, логарифмическая и степенная функции" в курсе алгебры и начала анализа предусматривает знакомство учащихся с вопросами:
Обобщение понятия о степени; понятие о степени с иррациональным показателем; решение иррациональных уравнений и их систем; показательная функция, ее свойства и график; основные показательные тождества:
; ;
тождественные преобразования показательных выражений; решение показательных уравнений, неравенств и систем; понятие об обратной функции; логарифмическая функция, ее свойства и график; основные логарифмические тождества:
; ;
тождественные преобразования логарифмических выражений; решение логарифмических уравнений, неравенств и систем; производная показательной функции; число е и натуральный логарифм; производная степенной функции; дифференциальное уравнение радиоактивного распада.
Основная цель – привести в систему и обобщить имеющиеся у учащихся сведения о степени, ознакомить их с показательной, логарифмической и степенной функциями и их свойствами (включая сведения о числе е и натуральных логарифмах); научить решать несложные показательные и логарифмические уравнения, их системы (содержащие также и иррациональные уравнения).
Рассматриваются свойства и графики трех элементарных функций: показательной, логарифмической и степенной. Систематизация свойств указанных функций осуществляется в соответствии с принятой схемой исследования функций. Достаточное внимание должно быть уделено работе с логарифмическими тождествами: тождественные преобразования логарифмических выражений применяются как при изложении теоретических вопросов курса (например, при выводе формулы производной показательной функции), так и при выполнении различного рода упражнений, например, решение логарифмических уравнений и неравенств.
Приведен краткий обзор свойств степенной функции в зависимости от различных значений показателя р.
Особое внимание уделяется показательной функции как той математической модели, которая находит наиболее широкое применение при изучении процессов и явлений окружающей действительности. Рассматриваются примеры различных процессов (например, радиоактивный распад, изменение температуры тела); показывается, что решение дифференциальных уравнений, описывающих эти процессы, является показательная функция. В связи с этим для показательной функции дается формула производной, вывод которой проводится с привлечением интуитивных представлений учащихся.
В ходе изучения свойств показательной, логарифмической и степенной функций учащиеся систематически решают простейшие показательные и логарифмические уравнения и неравенства, а также иррациональные уравнения. По мере закрепления соответствующих умений целесообразно также предлагать им уравнения и неравенства, сводящиеся к простейшим в результате несложных тождественных преобразований.
2. Методика изучения свойств степеней и логарифмов. Введение определения показательной школе показательной функций, ее свойства и их приложения
Ознакомление учащихся с показательной и логарифмической функциями начиная с изучения свойств степеней и логарифмов.
Курс алгебры знакомит учащихся с понятием степени с рациональным показателем. Таким образом для любого основания степени (где , ). Можно построить функцию: , , область определения которой – множество действительных чисел, необходимо ввести определение, степени с иррациональным показателем. Используемое свойство степени с основным, например, большим единицы (возрастании), рациональное приближение иррационального числа α: r1
< α< r2
. Исходя из графического изображения зависимости показателя степени и значения степени, показывается, что найдется такое значение y, которое будет наибольшим среди всех ar
1
и наименьшим среди всех ar
2
, которое можно считать значением aα
.
Затем формируется определение показательной функции: функция, заданная формулой y=ax
(, ), называется показательной функцией с основанием a, и формулируемые основные свойства: D(ax
)=R; E(ax
)=RТ
; ax
возрастает при a>1 и ax
убывает при 0<a<1; напоминаются основные свойства степеней. Т.о. показательная функция есть систематизация, обобщение и расширение знаний учащихся о свойствах степени.
В качестве приложения свойств показательной функции рассматриваются решения простейших показательных уравнений и неравенств.
Логарифмическая функция – новый математический объект для учащихся. К понятию логарифма учащихся подводят в процессе решения показательного уравнения ax
=b в том случае, если b нельзя представить в виде степени с основанием a. Наше уравнение в случае b>0 имеет единственный корень, который называют логарифмом b по основанию a и обозначают loga
b, т.е. alogab
=b. Одновременно с введением нового понятия учащиеся знакомятся с основным Логарифмическим тождеством. При работе с логарифмами применяются следующие их свойства, вытекающие из свойств показательной функции:
При любом () и любых положительных x и y, выполнены равенства:
1. loga
1=0
2. loga
a=1
3. loga
xy= loga
x+ loga
y
4. loga
x/y= loga
x- loga
y
5. loga
xp
= ploga
x
При доказательстве используется основное логарифмическое тождество:
x=alogax
; y=alogay
Рассмотрим доказательство 3:
xy=alogax
a logay
=alogax+logay
т.е. xy=alogax+logay
=alogaxy
, ч.т.д.
Основные свойства логарифма широко применяются в ходе преобразования выра
№497 (Алгебра и начала анализа, 10-11)
Найти , если:
т.е. равны основания логарифмов, равны значения логарифмов равны логарифмируемые выражения. Этот прием рассуждения в дальнейшем будет применим при решении простейших логарифмических уравнений.
З. Понятие обратной функции и методика его введения
Наиболее доступным введение логарифмической функции можно было бы провести после введения понятия обратной функции. Однако методика изложения темы об обратной функции сложна из-за сложных самого материала. Тема "Понятие об обратной функции" приведена в учебнике "Алгебры и начала анализа. 10-11" и рассчитана на необязательное изучение. В эту тему входят:
1) обратимость функций, связанное с решением следующих задач: вычислить значение функции по данному значению аргумента и найти значение аргументов, при которых функция принимает данное значение . Вторая задача не всегда имеет единственное решение (например, для , ). Функция принимает каждое свое значение в единственной точке области определения, называется обратимой, т.е. если обратима, а число принадлежит , то уравнения имеет решение и притом только одно.
2) Обратная функция – как новое понятие – поясняется на конкретных примерах.
Определение. Пусть - произвольная обратимая функция. Для любого числа из ее области значений имеется в точности одно значение , принадлежащее области определения , такое, что: . Поставив в соответствие каждому это значение , получим новую функцию с областью определения и областью значений .
Задача. Найти функцию, обратную функции
Покажем, что уравнения при любом значении имеет единственное решение .
, где .
Если вспомнить область значения данной функции , то получаем положительный ответ. Таким образом, наша функция обратима и обратная ей функция
Алгоритм решения таких задач: найти и данной функции ; поменять местами в формуле переменные , т.е. получить формулу и из полученного равенства выразить через .
В более сложных случаях (когда функция не является обратимой на всей области определения) следует пользоваться теоремой: об обратной функции:
Если функция f возрастает (или убывает) на промежутке I, то она обратима. Обратная к f функция g, определенная в области значений f, также является возрастающей (или убывающей).
Задача. Найти функции, обратные функции y=x2
-3x+2.
x=y2
-3y+2=y2
-2y*3/2+9/4-9/4+2=(y-3/2)2
-ј => (y-3/2)2
=x+1/4, где x≥-1/4 => y1
=3/2+(x+1/4)1/2
и y2
=3/2-(x+1/4)1/2
.
D(y1
)= D(y2
)=E(x2
-3x+2)=[-1/4;+∞)
Для нахождения областей значений обратных функций обратимся к графику, используя следующее свойство:
Графики функции f и обратной к ней функции g симметричны относительно прямой y=x.
x2
-3x+2=0 => x1
=1; x2
=2
xв
=3/2; yв
=-1/4
Из графика видно, что
E(y1
)=[3/2;+∞), E(y2
)=(-∞;3/2].
4. Методика изучения логарифмической функции, ее свойств и их приложения. Производная показательной и логарифмической функции
Методика изучения логарифмической функции
Изучение логарифмической функции начинается с выделения определения: функцию, заданную формулой называют логарифмической функцией с основанием . Основные свойства выводится из свойств показательной функции:
1. ,
т.к. при решении уравнения
,
т.е. любое положительное число имеет логарифм по основанию .
2. ,
т.к. по определению логарифма любого действительного числа справедливо равенство:
,
т.е. функции вида принимает значение в точке .
3. Логарифмическая функция на всей области определения возрастает (при a>1) или убывает (при 0<a<1).
Покажем, что при a>1 возрастает. Пусть и , надо доказать, что: . Допустим противное, т.е. что . Т.к. показательная функция при a>1 возрастает, то из неравенства следует: , что противоречит выбору . Следовательно: и функция при a>1 – возрастает.
Т.к. при a>1 функция возрастает, то логарифмическая функция положительна при x>1 и отрицательна для 0<x<1 (для основания 0<a<1 – наоборот). На основании рассмотренных свойств строится график этой функции.
Производная показательной и логарифмической функции
Приступая к изучению производной показательной и логарифмической функций, учащиеся знакомятся с новым для них числом e. Необходимость появления этого числа связывается с решением задачи о касательной к графику показательной функции, с угловым коэффициентом, равным 1, т.е. без доказательства принимается следующее утверждение:
существует такое число, больше 2 и меньшее 3 (это число обозначают буквой е), что показательная функция y=ex
в точке 0 имеет производную, равную 1, т.е. (eΔx
-1)/ Δx - при Δx-0.
Теорема: функция eж
дифференцируема в каждой точке области определения и (ex
)'= ex
. Опр.: Натуральным логарифмом называется логарифмом по основанию е:
ln x = loge
x
Верно соотношение:
eln a
=a => ax
=(eln a
)x
=ex ln a
.
Теорема: показательная функция аx
дифференцируема в каждой точке области определения, и:
(ax
)'=ax
ln a
Дифференцируемость логарифмической функции следует из того, что: графики у=ах
и у=log a
x симметричны относительно у=х. Показательная функция дифференцируема в любой точке, а ее производная не обращается в нуль, график показательной функции имеет негоризонтальную касательную в каждой точке. Поэтому и график логарифмической функции имеет невертикальную касательную в любой точке, а это равносильно дифференцируемости логарифмической функции на ее области определения.
Производная логарифмической функции для любого х из области определения находится по формуле: ln'x=1/x.
x=eln
x
=> x'=(eln
x
)', n/r/ x'=1 => (eln
x
)'=1 => eln
x
(ln x)'=1 => ln'x=1/eln
x
=1/x.
Заключение
Изучение темы "Показательная, логарифмическая и степенная функции" в курсе алгебры и начала анализа предусматривает знакомство учащихся с вопросами:
Обобщение понятия о степени; понятие о степени с иррациональным показателем; решение иррациональных уравнений и их систем; показательная функция, ее свойства и график; основные показательные тождества:
; ;
тождественные преобразования показательных выражений; решение показательных уравнений, неравенств и систем; понятие об обратной функции; логарифмическая функция, ее свойства и график; основные логарифмические тождества:
; ;
тождественные преобразования логарифмических выражений; решение логарифмических уравнений, неравенств и систем; производная показательной функции; число е и натуральный логарифм; производная степенной функции; дифференциальное уравнение радиоактивного распада.
Литература
1. К.О. Ананченко "Общая методика преподавания математики в школе", Мн., "Унiверсiтэцкае",1997г.
2.Н.М.Рогановский "Методика преподавания в средней школе", Мн., "Высшая школа", 1990г.
3.Г.Фройденталь "Математика как педагогическая задача",М., "Просвещение", 1998г.
4.Н.Н. "Математическая лаборатория", М., "Просвещение", 1997г.
5.Ю.М.Колягин "Методика преподавания математики в средней школе", М., "Просвещение", 1999г.
6.А.А.Столяр "Логические проблемы преподавания математики", Мн., "Высшая школа", 2000г.