Академия России
Кафедра Физики
Лекция
Переходные процессы в колебательных контурах
Орел 2009
Содержание
Вступление
Переходные колебания в параллельном контуре
Свободные колебания в параллельном контуре
Режимы переходных колебаний в колебательных контурах
Переходные колебания при гармоническом воздействии
Литература
Вступление
Колебательные контуры составляют значительную часть аппаратуры связи. Они могут выполнять самые различные функции: например, участвовать в выделении гармонических колебаний из последовательности видеоимпульсов, в формировании прямоугольных импульсов заданной длительности и др. На практике довольно распространен случай, когда на контур действует прямоугольный импульс (рис. 1).
Рис. 1
Если предположить , то нетрудно видеть, что при в контуре будет наблюдаться режим переходных колебаний, а с момента – свободные колебания за счет запасенной реактивными элементами энергии. Рассмотрим оба этих случая на примере параллельного контура.
Переходные колебания в параллельном контуре
Пусть на параллельный контур, находящийся при ННУ, в момент действует перепад тока величиной . Требуется определить реакцию – временную зависимость напряжения на контуре (рис. 2а).
а) б)
Рис. 2
Для нахождения воспользуемся операторной схемой замещения, показанной на рис. 2,б. Найдем :
где – есть коэффициент затухания;
– частота собственных незатухающих колебаний.
Воспользуемся таблицей соответствий (Л.0.1, стр. 222):
,
где – частота собственных затухающих колебаний.
График имеет вид:
Рис. 3
Свободные колебания в параллельном контуре
Пусть в момент в схеме, показанной на рисунке 4а гасится источник тока . Требуется определить временную зависимость напряжения на контуре.
Примечание:
Такая задача возникает после окончания действия прямоугольного импульса (рис. 1) на контур.
а) б) в)
Рис. 4
Для определения начальных условий изобразим эквивалентную схему (рис. 4б) для момента времени, непосредственно предшествующего коммутации. При этом для постоянного тока индуктивность представляется коротким замыканием, а емкость – обрывом цепи. Легко видеть, что до момента гашения весь ток источника будет проходить через индуктивность. Поэтому , .
В операторной схеме (рис. 4б) индуктивность отображена схемой замещения с источником тока. Нахождение здесь отличается от предыдущего случая (рис. 2б) лишь направлением операторного источника тока. Следовательно, можно записать:
.
График данной зависимости будет зеркальным отображением зависимости (*), полученной для переходного процесса (рис. 5).
Рис. 5
Можно показать, что аналогичные результаты получаются при анализе переходных и свободных колебаний в последовательном контуре.
Отметим две особенности полученных выражений:
– во-первых, колебания носят гармонический характер, на что указывает множитель гармонической функции ;
– во-вторых, амплитуда полученных колебаний изменяется во времени по экспоненциальному закону .
Очевидно, что вид графиков найденных функций будет зависеть от величины коэффициента затухания и его соотношения с поскольку последним определяется величина .
Поэтому в зависимости от и различают несколько режимов колебаний. Рассмотрим их подробней применительно к параллельному контуру.
Режимы переходных колебаний в колебательных контурах
Ранее было получено выражение для напряжения на контуре при ступенчатом воздействии:
,
где .
Для удобства изложения последующего материала выразим коэффициент затухания и частоту , через добротность:
.
В зависимости от величины (или добротности ) будем различать четыре режима колебаний: колебательный, квазиколебательный, критический и апериодический.
а) Колебательный режим.
Этот режим получается в контуре без потерь (идеальный контур), т. е. в чисто теоретическом случае: .
Выражение принимает вид:
.
График полученного выражения показан на рисунке 6.
Рис. 6
б) Квазиколебательный режим.
Режим, который используется в подавляющем большинстве случаев.
Он получает
Для построения графика (рис. 7) используем выражение:
,
где – амплитуда напряжения, убывающая по экспоненциальному закону.
Рис. 7
Длительность переходных колебаний может быть найдена из условия, что амплитуда напряжения будет менее 5% от своего максимального значения, т. е.:
, откуда .
Отсюда можно сделать вывод, что чем выше добротность контура (или чем меньше полоса пропускания ), тем более длительным будет переходный процесс.
Частота затухающих колебаний , однако это отличие незначительно. Действительно при средней добротности (), например , имеем: .
в) Критический режим.
Он возникает, когда .
В этом случае и получается неопределенность .
Раскроем ее:
.
Выражение для принимает вид:
.
График этой функции начинается и заканчивается нулем, не пересекает ось времени. Исследуем его на экстремум:
.
Экстремальные точки найдем из условия:
,
при этом:
.
График напряжения в рассматриваемом режиме показан на рисунке 8.
Рис. 8
г) Апериодический режим.
Такой режим получается при (), откуда следует, что будет комплексной и не имеет физического смысла. График напряжения при этом будет менее выраженным, чем при критическом режиме (пунктир на рисунке 8).
Вывод: изменяя добротность контура (например, с помощью шунтирующего сопротивления) можно изменять длительность и вид колебательного процесса.
Задание:
Самостоятельно начертить график квазиколебательного процесса при воздействии на контур прямоугольного импульса.
Переходные колебания в параллельном контуре при гармоническом воздействии
Пусть на параллельный контур с резонансной частотой (рис. 9,а) находящийся при нулевых начальных условиях, в момент действует гармоническое колебание, частота которого совпадает с :
.
Требуется определить закон изменения напряжения на контуре.
Задачу решим в операторной форме, для чего перейдем к схеме замещения, показанной на рисунке 9,б.
а) б)
Рис. 9
По таблице соответствий воздействие имеет изображение:
.
Определим операторную проводимость контура:
,
где и определены ранее.
По закону Ома в операторной форме имеем:
.
Поскольку в таблице соответствий нет нужной формулы для перехода во временную область, то данное выражение следует преобразовать.
Для этого воспользуемся теоремой разложения и методом неопределенных коэффициентов. Представим правильную дробь 4‑го порядка в виде суммы двух правильных дробей 2‑го порядка:
,
где , , , — коэффициенты, подлежащие определению.
Если данное выражение привести к общему знаменателю, раскрыть скобки в числителе и приравнять коэффициенты при одинаковых степенях , то получим систему 4‑х уравнений с 4‑мя неизвестными.
Решая систему уравнений имеем: ; ; .
Теперь полученное выражение можно записать в виде:
и использовать таблицу соответствий.
По таблице соответствий находим оригинал:
.
Предполагая, что контур имеет добротность, при которой , и, пренебрегая произведением как очень малой величиной, получим:
.
Из формулы следует, что процесс установления гармонического напряжения в контуре до амплитудного значения происходит не мгновенно, а за конечное время, определяемое множителем .
Если процесс установления колебаний в контуре считать законченным при достижении напряжением величины более 95% от максимальной, то можно определить :
; .
Видно, что время установления зависит от добротности контура: чем выше добротность, тем дольше происходят в контуре переходные процессы. На рисунке 10 показаны графики переходных колебаний при различных добротностях контура.
Рис. 10
В радиотехнических устройствах (например, в радиоприемниках) на параллельный контур обычно действуют гармонические колебания в виде радиоимпульсов с прямоугольной огибающей.
При этом чтобы напряжение на контуре достигло своего максимального значения, необходимо выполнять условие: .
Отсюда, зная длительность радиоимпульсов, можно рассчитать минимальную полосу пропускания контура:
, или его добротность: .
Литература
Белецкий А. Ф. Теория линейных электрических цепей. - М.: Радио и связь, 1986,
Шалашов Г. В. Переходные процессы в электрических цепях. – Орел: 1981