Министерство образования Республики Беларусь
Учреждение образования
«Гродненский государственный университет имени Янки Купалы»
Технологический колледж
Специальность: 2-360331 «Монтаж и эксплуатация
электрооборудования»
Группа МиЭЭ-17з
КУРСОВАЯ РАБОТА
по дисциплине
«Теоретические основы электротехники»
Расчет линейных электрических цепей
переменного тока
Вариант №44
Разработал: Куликов А.Г.
Руководитель: Дубок Н.Д.
Задание на курсовую работу
Заданы три приёмника электрической энергии со следующими параметрами: Z
1
= -j65 Ом, Z
2
= 14+j56 Ом, Z
3
=56- j23 Ом. Рассчитать режимы работы электроприёмников при следующих схемах включения:
1.Присоединить приёмники последовательно к источнику с напряжением U = 300 В. Определить полное сопротивление цепи Z, ток I, напряжения на участках, угол сдвига фаз, мощности участков и всей цепи, индуктивности и ёмкости участков. Построить топографическую векторную диаграмму цепи.
2. Присоединить приёмники параллельно к источнику с напряжением
U = 300 В. Определить токи в ветвях и в неразветвленной части цепи, углы сдвига фаз в ветвях и во всей цепи, мощности ветвей и всей цепи. Построить векторную диаграмму цепи.
3. Составить из приёмников цепь с двумя узлами, включив в каждую
ветвь соответственно электродвижущую силу E
2
=230 В и Е
3
= j240 B. Рассчитать в комплексной форме токи в ветвях, напряжения на участках, мощности источников и приёмников, составить уравнение баланса мощностей. Построить векторную диаграмму в комплексной плоскости. Для расчёта применить метод контурных токов.
4. Соединить приёмники в звезду с нулевым проводом (Z
N
= -j32 Ом), и подключить их к трёхфазному источнику с линейным напряжением UЛ
=380 В. Определить фазные токи и напряжения источника, напряжение смещения нейтрали и ток в нулевом проводе. Построить топографическую векторную диаграмму в комплексной плоскости.
5. Соединить приёмники в треугольник и подключить его к тому же источнику трехфазного напряжения. Определить фазные и линейные напряжения и токи, мощности фаз и всей цепи. Построить векторную диаграмму цепи в комплексной плоскости.
6. Присоединить приёмники последовательно к источнику несинусоидального тока i=7Sin(wt+130
)+1,2Sin(2wt-860
)+0,4Sin3wtA. Определить действующие значения тока и напряжения, активную мощность цепи. Записать уравнения мгновенных значений напряжения в цепи. Значения сопротивлений считать для частоты первой гармоники.
Частоту напряжения считать равной f = 50 Гц.
1 Расчёт неразветвлённой цепи с помощью векторных диаграмм
В задании на курсовую работу сопротивления даны в комплексной форме. Так как расчёт цепи нужно выполнить с помощью векторных диаграмм, определяем соответствующие заданным комплексам активные и реактивные сопротивления: XС1
= 65 Ом, R2
= 14 Ом, XL
2
=56 Ом, R3
=56 Ом ,ХC
3
= 23 Ом.
Из заданных приёмников составляем неразветвлённую цепь (рис. 1).
Рисунок 1
Определяем активные и реактивные сопротивления всей цепи:
R = R2
+ R3
= 14 + 56 = 70 Ом;
X = -XC
1
+ XL
2
– XC
3
= - 65 + 56 - 23 = - 32 Ом.
Полное сопротивление всей цепи тогда определяем из выражения:
Z = = = 77 Ом.
Ток в цепи будет общим для всех приёмников и определится по закону Ома:
I = U / Z = 300/77 = 3.9 A.
Угол сдвига фаз между напряжением и током определяется по синусу
Sin j = X / Z или тангенсу Tg j = X / R,
так как эти функции являются нечётными и определяют знак угла “плюс” или “минус”. Положительный знак угла указывает на активно-индуктивный (или чисто индуктивный) характер нагрузки, а отрицательный знак угла указывает на активно-ёмкостный (или чисто ёмкостный) характер. Таким образом, угол сдвига фаз между напряжением и током определим по синусу
Sin j= X/Z = - 32/77 = - 0,4156;j = - 24.56°; Cos j = 0,9096.
Напряжения на участках цепи определяем также из формулы закона Ома:
UC1
= I * XC1
= 3.9 *65 =253.5 B.
UR2
= I * R2
= 3.9 * 14 = 54.6 B.
UL2
= I * XL2
= 3.9 * 56 = 19.5 B
UR3
= I * R3
= 3.9 * 56 = 19.5 B
UC
3
= I * XC
3
= 3.9 * 23 = 89.7 B.
Определяем активные и реактивные мощности участков цепи:
QC1
= I2
* XC1
=3.92
*65 = 989 вар.
P2
= I2
* R2
=3.92
* 14 = 213 Bт.
QL2
= I2
* XL2
= 3.92
*56 = 852 вар.
P3
=I2
*R3
= 3.92
*56= 852 Вт
QС3
= I2
* XС3
= 3.92
*23 =350 вар.
Активная, реактивная и полная мощности всей цепи соответственно будут равны:
P = P2
+ P3
= 213 +852 =1065 Вт.
Q = -QC
1
+ QL
2
- QС3
= -989+852- 350 = - 487 вар.
S = = =1171 B*A.
Полную, активную и реактивную мощности всей цепи можно определить также по другим формулам:
S = U * I =300 *3.9 =1170 В*А.
Р = S * Cosj =1170* 0,9096 =1064 Вт,
Q = S * Sin j=1170*( - 0,4154) = - 486 вар.
Определяем ёмкость и индуктивность участков. Угловая частота ω = 2 πf = 2 * 3,14 * 50 = 314 с-1
C1
= 1/wXc1
=1/(314*65)= 0,000049 Ф = 49 мкФ
L2
= XL
2
/w = 56/314 = 0,178 Гн
С3
= 1/wXС3
= 1/(314*23) = 0,000138 Ф = 138 мкФ.
Для построения векторной диаграммы задаёмся масштабами тока и напряжения, которые будут соответственно равны MI
= 0,25 A/см и MU
= 25 B/см.
Построение топографической векторной диаграммы начинаем с вектора тока, который откладываем вдоль положительной горизонтальной оси координат. Векторы напряжений на участках строятся в порядке обтекания их током с учётом того, что векторы напряжений на активных элементах R2
и R3
совпадают по фазе с током и проводятся параллельно вектору тока. Вектор напряжения на индуктивности L2
опережает ток по фазе на угол 900
и поэтому откладывается на чертеже вверх по отношению к току. Векторы напряжений на ёмкости С1
и отстают от тока по фазе на угол 900
и откладываются на чертеже вниз по отношению к току. Вектор напряжения между зажимами цепи проводится с начала вектора тока в конец вектора С3
. На векторной диаграмме отмечаем треугольник напряжений ОАВ, из которого активная составляющая напряжения
Uа = UR
2
+ UR
3
и реактивная составляющая напряжения
Uр = -UС1
+ UL
2
– UС3
.
Топографическая векторная диаграмма построена на рисунке 2.
Ua
O
φ
MI
= 0,5 А/см
МU
= 25 В/см
UC1
U UP
UR3
UR2
UL2
UC
3
Рисунок 2
2 Расчёт разветвлённой цепи с помощью векторных диаграмм
Присоединяем заданные приёмники параллельно к источнику напряжения. Это значит, что цепь состоит из трех ветвей, для которых напряжение источника является общим. Схема цепи показана на рисунке 3.
Расчёт параллельной цепи выполняем по активным и реактивным составляющим токов.
Рисунок 3
Этот метод предусматривает использование схемы замещения с последовательным соединением элементов. В данном случае три параллельные ветви рассматриваются как три отдельные неразветвлённые цепи, подключенные к одному источнику с напряжением U. Поэтому в начале расчёта определяем полные сопротивления ветвей:
Z1
= Хс1
= 65 Ом.
Z2
= = = 57.7 Ом.
Z3
= = 60.5 Ом.
Углы сдвига фаз между напряжениями и токами в ветвях определяются также по синусу (или тангенсу):
Sinφ1
= -1; j1
= - 90°;Cosφ1
= 0
Sinφ2
= XL
2
/ Z2
= 56 / 57.7 = O.9705; j2
= 76.05°; Cosφ2
= 0.241.
Sinφ3
= - XC
3
/Z3
= - 23/60.5= - 0.38; φ3 = - 22.34°; Cosφ3
= 0.9249.
Затем можно определять токи в ветвях по закону Ома:
I1
= U / Z1
=300 / 65 = 4.62 А.
I2
= U / Z2
= 300 / 57.7 = 5.2 А.
I3
= U / Z3
= 300 / 60.5 = 4.96А.
Для определения тока в неразветвлённой части цепи нужно знать активные и реактивные составляющие токов в ветвях и неразветвленной части цепи:
Ip1
= I1
*Sinj1
= 4.62*(- 1) = - 4.62 A.
Ia2
= I2
*Cosφ2
= 5.2 * 0,241 = 1.25A;
Ip2
= I2
*Sinφ2
= 5.2 * 0,9705 = 5.05A;
Ia3
= I3
*Cosj3
= 4.96*0.9249 = 4.59 A.
Ip3
= I3
*Sinj3
= 4.96*(- 0.38) = - 1.88 A.
Активная и реактивная составляющие тока в неразветвлённой части цепи:
Ia = Ia2
+ Ia3
= 1.25+4.59 = 5.84 A.
Ip = Ip1
+ Ip2
+ Ip3
= - 4.62+5.05 – 1.88 = - 1.45 A.
Полный ток в неразветвлённой части цепи:
I = = = 6.02 A.
Угол сдвига фаз на входе цепи:
Sinφ = IP
/ I = - 1.45/6.02 = - 0.2409; φ = -13.940
; Cosφ = 0.9706.
Активные, реактивные и полные мощности ветвей:
QC1
= I1
2
*XC1
= 4.622
*65 = 1387 вар.
S1
= U*I1
= 300*4.62 = 1387 B*A.
P2
= I2
2
* R2
= 5.22
* 14 = 379Вт.
QL2
= I2
2
* XL2
= 5.22
* 56 =1514 вар.
S2
= U * I2
= 300 * 5.2 =1560 В*А.
P3
= I3
2
*R3
= 4.962
*56 = 1378 Bт
QC3
= I3
2
* XC3
= 4.962
* 23 =566 вар.
S2
= U * I2
= 300 *4.96 = 1488 В*А
Активные, реактивные и полные мощности всей цепи:
P = P2
+ P3
= 379 + 1378 =1757 Вт.
Q = - QC
1
+ QL
2
- QC
3
= - 1387 +1514 -566 = - 439 вар.
S = = = 1811 В*А, или
S = U * I = 300*6.02 = 1806 В*А.
P = S*Cosφ = 1806 * 0,9706 = 1753 Вт.
Q = S * Sinφ = 1806*(- 0.2404) = - 434вар.
Для построения векторной диаграммы задаёмся масштабами напряжений MU
= 25 В/см и токов MI
= 0.5 А/см. Векторную диаграмму начинаем строить с вектора напряжения, который откладываем вдоль горизонтальной положительной оси. Векторная диаграмма токов строится с учётом того, что активные токи Ia2
и Ia3
совпадают по фазе с напряжением, поэтому их векторы параллельны вектору напряжения; реактивный индуктивный ток Ip
2
отстает по фазе от напряжения, и его вектор строим под углом 900
к вектору напряжения в сторону отставания; реактивные емкостные токи Ip
1
и Ip
3
опережают по фазе напряжение, и их векторы строим под углом 90° к вектору напряжения в сторону опережения. Вектор тока в неразветвлённой части цепи строим с начала построения в конец вектора емкостного тока Ip3
. Векторная диаграмма построена на рисунке 4.
Ia2
MI
= 0,5 А/см
МU
= 25 В/см
I2
I1
=Ip1
Ip2
OIa U
Ia3
I3
Ip3
Ip
I
Рисунок 4
3 Расчёт сложных цепей переменного тока символическим методом
Электрическая схема цепи и комплексная схема замещения представлены на рисунке 5а и б соответственно.
Рисунок 5
Намечаем в независимых контура
K
1
и I
K
2
– некоторые расчётные комплексные величины, которые одинаковы для всех ветвей выбранных контуров. Направления контурных токов принимаются произвольно. Для определения контурных токов составляем два уравнения по второму закону Кирхгофа:
I
K1
*(Z
1
+ Z
2
) – I
K2
*Z
2
= E
2
- I
K1
*Z
2
+I
K2
*(Z
2
+Z
3
)= E
3
- E
2
Подставляем данные в систему:
I
K
1
*(- j65+14+j56) – I
K
2
*(14+j56) = 230
-IK
1
*(14+j56) +I
K
2
*(14+j56+56 – j23) = j240-230
I
K
1
*(14-j9) – I
K
2
*(14+j56) = 230
-I
K
1
*(14+j56) + I
K
2
*(70+j33) = -230+ j240
Решаем систему с помощью определителей. Определитель системы:
=1277-j168+2940– j1568=4217-j1736
Частные определители :
= = 16100+j7590–16660-j9520= -560–j1930.
=-1060+j5430+3220+j12880 = 2160+j18310
Определяем контурные токи:
I
K
1
= = = 0.0476-j0.438 A.
I
K
2
= = = - 1.09+ j3.89 A.
Действительные токи в ветвях цепи определяем как результат наложения контурных токов:
I
1
= I
K1
= 0.0476 – j0.438 = 0.441 A
I
2
= I
K1
-I
K2
= 0.0476.- j0.438+1.09- j3.89 = 1.14 – j4.33 = 4.48 A
I
3
= I
K
2
= -1.09 + j3.89 = 4.04A.
Составляем уравнение баланса мощностей в заданной электрической цепи. Определяем комплексные мощности источников:
S
E
2
= E
2
* =230(1.14+j4.33) = 262+j996=1030B*A
S
E
23
= E
3
* = j240*(-1.09 – j3.89) = 912 – j262 = 949B*A
Определяем комплексные мощности приёмников электрической энергии:
S
1
= I1
2
*Z
1
=0.4412
*( – j65) = – j12.6 =12.6 B*A
S
2
= I2
2
*Z
2
= 4.482
*(14+j56) = 281+j1124=1159 B*A
S
3
= I3
2
*Z
3
= 4.042
*(56 – j23) = 914– j375 =988B*A.
Уравнение баланса комплексных мощностей!
S
Е
1
+ S
E2
=S
1
+ S
2
+S
3
;
262+j996+912-j262 = – j12.6+281+j1124+914– j375
1174+ j734 @ 1182+ j749; 1385@ 1400
Относительная и угловая погрешности незначительны.
Для построения векторной диаграммы задаёмся масштабами токов MI
= 0.25 А/см и ЭДС ME
= 50 В/см. Векторная диаграмма в комплексной плоскости построена на рисунке 6.
4 Расчёт трёхфазной цепи при соединении приемника в звезду
Схема заданной цепи изображена на рисунке 7.
Определяем систему фазных напряжений генератора. Фазное напряжение:
UФ
= Uл/= 380/1,73=220 В.
Комплексные фазные напряжения генератора:
U
A
= UФ
= 220 B
U
B
= U
A
e-
j
120
= 220e-
j
120
= –110 – j191 B
U
C
= U
A
ej
120
= 220ej
120
= –110 + j191 B
Определяем полные проводимости фаз приёмника:
Y
A
= = j0,01538 См.
Y
B
= = 0.0042-j0.0168 См.
Y
C
= = 0.0153+j0.00628Cм.
YN
=== j0.03125 См.
Рисунок 7
Узловым напряжением является в данном случае напряжение смещения нейтрали, которое определяется по формуле:
U
N
=
= (j3.38-3.67+j1.05-2.88+j2.23)/(0.05075+j0.00486) = (-6.55+j6.66)/(0.0195+j0.03611)= 67+j218 = 228B.
Определяем фазные напряжения на нагрузке:
U
A
/
= U
A
– U
N
= 220- (67+j218) = 153-j218 = 266 B.
U
B
/
= U
B
– U
N
= (–110-j191) - (67+j218) = -177-j409 =446 B.
U
C
/
= U
C
–U
N
=(–110+j191) - (67+j218) = -177 – j27 = 179 B.
Определяем токи в фазах нагрузки:
I
A
= U
A
/
*Y
A
= (153-j218)*(j0.01538) = 3.35+j2.35 = 4.1 A.
I
B
= U
B
/
*Y
B
= (-177-j409)*(0.0042-j0.0168) = -7.61+j1.26 =7.72A.
I
C
=U
C
/
*Y
C
= (-177 – j27)*(0.0153+j0.00628)=- 2,53–j1,52= 2,96A.
I
N
= U
N
*Y
N
= (67+j218)*j0.03125 = - 6,8 + j2,09 = 7,12*
Проверяем правильность определения токов по первому закону Кирхгофа для точки N’:
I
A
+ I
B
+ I
C
=I
N
3.35+j2.35 -7.61+j1.26 - 2,53 – j1,52 @ - 6,8 + j2,09;
- 6,79+j2.09 @ - 6,8 + j2,09.
Определяем комплексные мощности фаз и всей цепи:
S
A
= IA
2
* Z
1
= 4,12
*(-j65) = -j1092=1092 B*A.
S
B
= IB
2
* Z
2
= 7,722
*(14+j56) = 834+j3338 =3440 B*A
S
C
= IC
2
* Z
3
= 2,962
*(56-j23) = 491 – j 202 = 530 B*A.
S
= S
A
+ S
B
+ S
C
= -j1092+ 834+j3338+ 491 – j 202 = 1325+j2044 =
= 2436B*A.
Для построения векторной диаграммы задаёмся масштабами токов MI
= 1 А/см и напряжений MU
= 40 B/см. Векторная диаграмма на комплексной плоскости построена на рисунке 8.
5 Расчёт трёхфазной цепи при соединении приёмника в треугольник
Схема заданной цепи изображена на рисунке 9
Рисунок 9.
В данном случае линейные напряжения генератора являются фазными
напряжениями нагрузки:
U
AB
= UЛ
= 380 В.
U
BC
= 380 = -190-j329 B.
U
CA
= 380= -190+j329 B.
Определяем систему фазных токов нагрузки:
I
AB
= = = j5,85 = 5,85 A
I
BC
= = = -6,32+j1,81 = 6,58 A
I
CA
= = = -4,96+j3,83 = 6,27A
Систему линейных токов определяем из соотношений:
I
A
= I
AB
– I
CA
= j5,85+4,96-j3,83 = 4,96+j2,02 = 5,36 A
I
B
= I
BC
– I
AB
= -6,32+j1,81-j5,85 = -6,32-j4,04 = 7,5A
I
C
= I
CA
– I
BC
= -4,96+j3,83+6,32-j1,81 = 1,36+j1,92 =2,35 A
Определяем мощности фаз приемника:
S
AB
=IAB
2
*Z
1
= 5,852
*(-j65) = -j2224 = 2224B*A.
S
BC
= IBC
2
*Z
2
= 6,582
*(14+j56) = 606+j2425 = 2499B*A.
S
CA
= ICA
2
*Z
3
= 6,272
*(56 – j23) =2201– j904 = 2380*B*A.
Определяем мощность трехфазной нагрузки:
S
AB
+S
BC
+S
CA
= -j2224+606+j2425+2201– j904 =2807 – j703 =
= 2894B*A.
Для построения векторной диаграммы задаёмся масштабами токов MI
=1 A/см и напряжений MU
= 50A/см. Векторная диаграмма построена на рисунке 10.
6 Расчёт неразветвлённой цепи с несинусоидальными напряжениями и токами
Составляем схему заданной цепи, подключая последовательно соединённые приёмники к источнику несинусоидального напряжения, под действием которого в цепи возникает ток с мгновенным значением
i=7Sin(wt+130
)+1,2Sin(2wt-860
)+0,4Sin3wt A,который на схеме замещения представляем как последовательно соединённые три источника переменного напряжения u1
, u2
и u3
c разными частотами (рисунок 11)
Величины сопротивлений заданы для частоты первой гармоники:
XC
11
= 18 Ом, R2
= 23 Ом, XL
21
= 14 Ом, R3
= 12 Ом, XC
31
= 62 Ом. Поскольку напряжения источников имеют разные частоты, то и реактивные сопротивления для них будут иметь разные величины. Активные сопротивления считаем от частоты не зависящими. Поэтому расчёт ведём методом наложения, то есть отдельно для каждой гармоники.
.
Рисунок 11.
Первая гармоника
Определяем активное и реактивное сопротивления всей цепи:
R = R2
+ R3
= 14+56 = 70 Ом. X1
= -XC11
+ XL21
- XC31
= - 65+56–23 =
= -32 Ом.
Полное сопротивление цепи:
Z1
= = = 76,7 Ом.
Амплитудные значения напряжения и тока:
Im
1
= 7 A, Um
1
= Im
1
*Z1
= 7*76.7 =537 B.
Действующие значения напряжения и тока:
U1
= Um
1
/ = 537 / 1,41 = 381 B.
I1
= Im
1
/ = 7 / 1,41 = 4.96 A.
Угол сдвига фаз между напряжением и током определяем по синусу:
Sinφ1
= X1
/Z1
= -32/76.7 = - 0.4172. j1
= - 24.66°, Cosφ1
=0.9088.
Активная и реактивная мощности первой гармоники:
P1
= I1
2
* R = 4.962
* 70 =1722 Вт.
Начальная фаза тока определяется из соотношения:
φ1
= yU1
– yI1
, отсюдаyU1
=yI1
+ j1
= 13°- 24.66°= - 11.66°
Мгновенное значение напряжения первой гармоники
u1
= Um
1
* Sin (ωt + yU
1
) = 537 * Sin (ωt – 11.66°) B.
Вторая гармоника.
Для остальных гармоник напряжения расчёты приводим без дополнительных разъяснений.
X2
= XC
11
/ 2 + XL
21*
2 - XC
31
/ 2 = -65/ 2 + 56* 2 - 23 / 2 = 68 Ом.
Z2
===97.6 Ом,
Im2
=1.2 A, Um2
= Im2
*Z2
=1.2*97.6 =117 B.
U2
= Um2
/ =117 / 1,41 = 83 B.I2
= Im2
/ = 1.2 / 1,41 = 0.85 A.
Sin φ2
= X2
/ Z2
= 68/97.6= 0,6967.j2
= 44.16°, Cos φ2
= 0,7173.
P2
= I2
2
* R2
= 0.852
*70 = 51 Вт.
yU2
=yI2
+ j2
= -86°+ 44.16°= - 41.9°
u2
= Um2
* Sin (2ωt + yU2
) = 117 * Sin (2ωt – 41.9°) B.
Третья гармоника
X3
= XC
11
/3 + XL
11
* 3 – XC
31
/ 3 = - 65 / 3 + 56* 3 - 23 / 3 =139 Ом.
Z3
= = 156 Ом. Im3
=0.4 A, Um3
= Im3
*Z3
=0.4 *156 =
= 62.4 B.
U3
= Um3
/ =62.4/ = 44.3 B. I3
= Im3
/ = 0.4 / 1,41 = 0.28 A.
Sin φ3
= X3
/ Z3
=139 /156 = 0,891. j3
= 63°. Cos φ3
= 0,454.
P3
= I3
2
* R = 0.282
*70 = 0.5 Вт.
yU3
=yI3
+ j3
= 63°.
u3
= Um3
* Sin (3ωt + yU3
) =44.3 * Sin (3ωt +63°) B.
Определяем действующие значения тока и напряжения:
I = = = 5.04 A.
U = = = 559 B.
Активная и реактивная мощности цепи:
P = P1
+P2
+P3
=1722+51+0.5=1774 Вт.
Средневзвешенный коэффициент мощности цепи:
Cos Х = Р / (U * I) = 1774/ (559 *5.04) = 0,6296.
Уравнение мгновенных значений напряжения между зажимами цепи:
u=u1
+u2
+u3
=537 * Sin (ωt – 11.66°)+117 * Sin (2ωt – 41.9°)+
+44.3 * Sin (3ωt +63°) B.
Литература
1. Ф.Е. Евдокимов. Теоретические основы электротехники. - М. “Высшая школа “,1981 г.
2. В.С. Попов. Теоретическая электротехника. – М. “Энергия”,
1978 г.
3. Ю.В. Буртаев, П. И. Овсянников. Теоретические основы электротехники.– М. “Энергоатомиздат”, 1984 г.
4. Л.А. Частоедов. Электротехника. - М. “Высшая школа”, 1984 г.
5. М.Ю. Зайчик. Сборник задач и упражнений по теоретической электротехнике. – М. “Энергоатомиздат” , 1988 г.