Параметричний резонанс

РЕФЕРАТ

на тему:

Параметричний резонанс

Розглянемо рух математичного маятника, точка підвісу якого z0
коливається вертикально з частотою со і амплітудою а:z0
= = acost. Внаслідок коливань точки підвісу система координат, початок якої збігається з точкою підвісу, неінерціальна. Тому, слід врахувати силу інерції, яка в розглядуваному випадку дорівнює

lz
= — m0
= m2
a cos t.

Потенціал цієї сили виражається формулою

U = —lz
z = —mla2
cos cos,

де 8 — кут відхилення маятника від вертикалі, вибраний за уза­гальнену координату. Функція Лагранжа в цьому разі має вигляд

L = + mgl cos
+ mla
2
cos
t cos
,

а рівняння Лагранжа

Для малих коливань ( 1) це рівняння зводиться до лінійного рівняння

де = g/l.

Таким чином, коливання точки підвісу математичного маятника еквівалентне зміні з часом його параметрів:

Параметром, що залежить від часу, тут є частота

Ця залежність за певних умов, як буде показано нижче, приводить до наростання з часом амплітуди коливань, тобто до параметрич­ного резонансу або параметричної нестійкості.

Розглянемо спочатку загальний випадок, коли функція (t) в рівнянні (40.1) є довільною періодичною функцією часу

(t + Т) = (t)

з періодом Т — 2/. У зв'язку з цим можна сказати, що рівнян­ня (40.1) інваріантне відносно перетворення t→t+T. Звідси випливає, що коли (t) є розв'язком рівняння то функція (t— Т) теж має бути його розв'язком. З курсу диференціальних рівнянь відомо, що рівняння другого порядку завжди має два лі­нійно незалежні розв'язки Ql (t) і 92 (t), а будь-який інший розв'я­зок можна подати у вигляді лінійної комбінації цих двох розв'яз­ків. Зокрема,

1
(t + T)= а11
1
(t) + а12
2
(t),

2
(t + T) = а21
1
(t) + a22
2
(t).

Завжди можна вибрати систему лінійно незалежних розв'язків так, щоб вони були дійсними. Оскільки аргумент t функцій 1
(t + T) і 2
(t + T) дійсний, то 1
(t + T) і 2
(t + T) також будуть дійсними. Звідси випливає, що коефіцієнти а11
в формулах дійсні; крім того, їхній визначник відмінний від нуля, інакше функції 1
(t + T) і 2
(t + T) були б лінійно залежними. Справді, якщо припустити, що визначник

то а11
=, а

1
(t + T) = 1
(t) + а12
2
(t + T) =[a21
1
(t)+a22
2
(t)] = 2
(t + T)

що означає лінійну залежність функцій 1
(t + T) і 2
(t + T)/ Покажемо, що завжди можна вибрати два таких лінійно неза­лежних розв'язки рівняння, що зміна їх при заміні tна t+ Т зводиться до множення на деякий сталий .множник, тобто (t + T) = . Справд

і, нехай 1
(t) і 2
(t) не мають такої властивості. Тоді помножимо першу рівність на деяку величину , а другу — на і додамо їх:

’
(t + T)

Підберемо числа і так, щоб виконувалися різності

Це система однорідних рівнянь відносно величин і , розв'я­зок якої існує, якщо

Звідси знаходимо два, взагалі кажучи, комплексно спряжених зна­чення величини : 1
і 2
, кожному з яких відповідає оди:І розв'я­зок системи однорідних рівнянь. Поклавши в = 1
, знаходимо Тоді із співвідношення

1
’
(t + T)

Аналогічно для = 2
, маємо

2
’
(t + T)

Отже, завжди можна вибрати два таких лінійно незалежних розв'язки рівняння, щоб зміна їх при заміні tна t+ Т зво­дилась до множення на сталий множник:

1
’
(t + T), 2
’
(t + T)

Такі ж співвідношення справедливі для похідних за часом

1
’
(t + T), 2
’
(t + T)

Формули можна записати тотожно так:

;

Звідси випливає, що функції

П1
(t) = ; П2
(t) =

є періодичними з періодом Т. Отже, система лінійно незалежних розв'язків рівняння має вигляд

1
(t + T), 2
’
(t + T),

Сталі 1
і 2
, зв'язані між собою співвідношенням, яке можна вивести так. Помножимо рівняння, які задовольняють функції 1
і 2
,

;

відповідно на 1
і 2
і віднімемо від першого друге. В результаті дістанемо

звідки випливає, що вираз l(t) = = constне залежить від часу. Тому l(t+ Т) = l(t). Оскільки з одного боку l (t + T) = 1
(t +T) 2
(t + T) = 1
2
l(t), а з іншого — l (t+ T) = = l (t), то

1
2
=1

Оскільки коефіцієнти визначника аі
j
дійсні, то величини 1
і 2
, або дійсні, або комплексно-спряжені. Тоді, враховуючи співвід­ношення, покладемо 1
= еzT
, 2
= е-
zT
де z — комплексна число, яке можна знайти, розв'язавши рівняння.

Таким чином, використовуючи співвідношення, робимо висновок, що два лінійно незалежних розв'язки рівняння з періодичним коефіцієнтом (t) = (t + T) можна записати-у вигляді (теорема Флоке):

1
(t + T), 2
’
(t + T),

Тут П1
(t) і П2
(t) — періодичні функції з періодом Т, внаслідок чо­го їх можна розкласти в ряд Фуh'є

П (t)=

Якщо Rez 0, то одна з двох функцій експоненціальне зростатиме з часом. Це означає, що стан рівноваги = 0 не е стій­ким. Досить будь-якого малого відхилення від положення рівно­ваги, щоб це відхилення потім експоненціальне збільшувалося з часом. Це явище було названо параметричним резонансом або па­раметричною нестійкістю.