Упругие волны

УПРУГИЕ ВОЛНЫ

§ 1.
Распространение волн в упругой среде

Если в каком-либо месте упругой (твердой, жидкой или газо­образной) среды возбудить колебания ее частиц, то вследствие взаимодействия между частицами это колебание будет распро­страняться в среде от частицы к частице с некоторой скоро­стьюυ
.
Процесс распространения колебаний в пространстве на­зывается волной.

Частицы среды, в которой распространяется волна, не вовле­каются волной в поступательное движение, они лишь совершают колебания около своих положений равновесия. В зависимости от направления колебаний частиц по отношению к направлению, в котором распространяется волна, различают продольные и поперечные волны. В продольной волне частицы среды колеблются вдоль направления распространения волны. В попереч­ной волне частицы среды колеблются в направлениях, перпендику­лярных к направлению распространения волны. Упругие попереч­ные волны могут возникнуть лишь в среде, обладающей сопротивле­нием сдвигу. Поэтому в жидкой и газообразной средах возможно возникновение только продольных волн. В твердой среде возможно возникновение как продольных, так и поперечных волн.

На рис. 1.1 показано движение частиц при распространении в среде поперечной волны. Номерами 1, 2 и т. д. обозначены час­тицы, отстоящие друг от друга на расстояние, равное ¼
υ
T
, т. е. на расстояние, проходимое волной за четверть периода колебаний, совершаемых частицами. В момент времени, принятый за нулевой, волна, распространяясь вдоль оси слева направо, достигла час­тицы 1
, вследствие чего частица начала смещаться из положения равновесия вверх, увлекая за собой следующие частицы. Спустя четверть периода частица 1
достигает крайнего верхнего положе­ния; одновременно начинает смещаться из положения равновесия частица 2
.
По прошествии еще четверти периода первая частица будет проходить положение равновесия, двигаясь в направлениисверху вниз, вторая частица достигнет крайнего верхнего положе­ния, а третья частица начнет смещаться вверх из положения рав­новесия. В момент времени, равный Т
, первая частица закончит полный цикл колебания и будет находиться в таком же состоянии движения, как и в начальный момент. Волна к моменту времени Т
,
пройдя путьυ
T
,
достигнет частицы 5
.

На рис. 1.2 показано движение частиц при распространении в среде продольной волны. Все рассуждения, касающиеся поведе­ния частиц в поперечной волне, могут быть отнесены ик данному случаю с заменой смещений вверх и вниз смещениями вправо ивлево. Из рисунка видно,что при распространении продольной волны в среде создаются чередующиеся сгущения и разрежения частиц (места сгущения частиц обведены на рисунке пунктиром), перемещающиеся в направлении распространения волны со ско­ростью υ
.

На рис. 1.1 и 1.2 показаны колебания частиц, положения равновесия которых лежат на оси х

.
В действительности колеблют­ся не только частицы, расположенные вдоль оси х

,
а совокупность частиц, заключенных в некотором объеме. Распространяясь от ис­точника колебаний, волновой процесс охватывает все новые и но­вые части пространства. Геометрическое место точек, до которых доходят колебания к моменту времениt

,
называется фронтом волны (или волновым фронтом). Фронт волны пред­ставляет собой ту поверхность, которая отделяет часть простран­ства, уже вовлеченную в волновой процесс, от области, в которой ко­лебания еще не возникли.

Геометрическое место точек,колеблющихся в одинаковой фазе, называется волновой поверхностью. Волновую по­верхность можно провести через любую точку пространства, охваченного волновым процессом. Следовательно, волновых по­верхностей существует бесконечное множество, в то время как волновой фронт каждый момент времени только один. Волновые поверхности остаются неподвижными. Волновой фронт все время перемещается.

Волновые поверхности могут быть любой формы. В простейших случаях они имеют форму плоскости или сферы. Соответственно волна в этих случаях называется плоской или сферической. В плоской волне волновые поверхности представляют со­бой множество параллельных друг другу плоскостей, в сфериче­ской волне — множество концентрических сфер.

Рассмотрим случай, когда плоская волна распространяется вдоль оси х

.
Тогда все точки среды, положения равновесия кото­рых имеют одинаковую координату х

(но различные значения координат y
иz
), колеблются в одинаковой фазе.

На рис.1.3 изображена кривая, которая дает смещение x
из положения равновесия точек с различными x

в некоторый мо­мент времени. Не следует воспринимать этот рисунок как зримое изображение волны. На рисунке показан график функции x
(х
, t)
для некоторого фиксированного момента времени 1
. С течением времени график перемещается вдоль оси х

.
Такой график можно строить как для продольной, так и для поперечной волны. В обоих случаях он выглядит одинаково.

(1.1)

Расстояние λ
, на которое распространяется волна за время, равное периоду колебаний частиц среды, называется длиной волны. Очевидно, что

λ
=υ
T,

где υ
—
скорость волны, T
—
период колебаний. Длину волны можно определить также как расстояние между ближайшими точ­ками среды, колеблющимися с разностью фаз, равной 2p (см. рис. 1.3).

(1.2)

Заменив в соотношении (1.1) T
через1/v

(v

— частота коле­баний), получим

λ
v

=υ
.

К этой формуле можно прийти также из следующих соображений. За одну секунду источник волн совершает v

колебаний, порождая в среде при каждом колебании один «гребень» и одну «впадину» волны. К тому моменту, когда источник будет завершать v-e коле­бание, первый «гребень» успеет пройти путь υ
.
Следовательно, v

«гребней» и «впадин» волны должны уложиться на длине υ
.

§ 2.
Уравнения плоской и сферической волн

Уравнением волны называется выражение, которое дает сме­щение колеблющейся частицы как функцию ее координат х

,
у
,
z
и времени t
:

(2.1)

x
=
x
(х,
у
,
z,
t)

(имеются в виду координаты равновесного положения частицы). Эта функция должна быть периодической как относительно вре­мени t
, так и относительно координат х

, y,
z
.
Периодичность по времени вытекает из того, что x
описывает колебания час­тицы с координатами х

,
у
,
z
. Периодич­ность по координатам следует из того, что точки, отстоящие друг от друга на расстоя­ние λ
, колеблются одинаковым образом.

Найдем вид функции x
,
в случае плос­кой волны, предполагая, что колебания носят гармонический характер. Для уп­рощения направим оси координат так, чтобы ось х

совпала с направлением рас­пространения волны. Тогда волновые поверхности будут пер­пендикулярными к оси х

и, поскольку все точки волновой поверх­ности колеблются одинаково, смещение x
будет зависеть только от х

и t
:
x
= x
(х
,
t)
.
Пусть колебания точек, лежащих в плоскости х

= 0 (рис. 2.1), имеют вид

x
(х
,
t)
=a
cos (
w
t +
a
)
.

Найдем вид колебания точек в плоскости, соответствующей про­извольному значению х

.
Для того чтобы пройти путь от плоскости х

= 0 до этой плоскости, волне требуется время t
=x

/
υ
(υ
– скорость распространения волны). Следовательно, колебания частиц, лежащих в плоскости х

, будут отставать по времени на t
от колебаний частиц в плоскости х

= 0, т. е. будут иметь вид

x
(х
,
t)
=a
cos [
w
( t −
t
)
+
a
] =
a
cos [
w
( t − x

/
υ )
+
a
]
.

Итак, уравнение плоской волны (и продольной, и поперечной), распространяющейся в направлении оси х,
выглядит следующим образом:

(2.2)

x
=
a

cos [
w
( t − x

/
υ )
+
a
]

Величина a

представляет собой амплитуду волны. Начальная фаза волны a
определяется выбором начал отсчета х

и t
.
При рас­смотрении одной волны начала отсчета времени и координаты обычно выбираются так, чтобы a
была равной нулю. При совмест­ном рассмотрении нескольких волн сделать так, чтобы для всех них начальные фазы равнялись пулю, как правило, не удается.

(2.3)

Зафиксируем какое-либо значение фазы, стоящей в уравнении (2.2), положив

w
( t − x

/
υ )
+
a
=
const

0,

=

1

υ

Это выражение определяет связь между временем t
и тем местом х

,
в котором фаза имеет зафиксированное значение. Вытекающее из него значениеdx/dt

дает скорость, с которой перемещается данное значение фазы. Продифференцировав выражение (2.3), получим

υ .

υ .

откуда

(2.4)

Таким образом, скорость распространения волныυ
в уравнении (2.2) есть скорость перемещения фазы, в связи с чем ее называют фазовой скоростью.

(2.5)

Согласно (2.4)dx/dt

> 0. Следовательно, уравнение (2.2) описывает волну, распространяющуюся в сторону возрастания х

.
Волна, распространяющаяся в противоположном направлении, описывается уравнением

x
=
a

cos [
w
( t + x

/
υ )
+
a
]

– υ ,

Действительно, приравняв константе фазу волны (2.5) и продиф­ференцировав получившееся равенство, придем к соотношению

из которого следует, что волна (2.5) распространяется в сторону убывания х

.

(2.6)

,

λ

2π

Уравнению плоской волны можно придать симметричный отно­сительно х

и t

вид. Для этого введем величину

ω

υ

(2.7)

которая называется волновым числом. Умножив числи­тель и знаменатель выражения (2.6) на частоту v

, можно пред­ставить волновое число в виде

(2.8)

(см. формулу (1.2)). Раскрыв в (2.2) круглые скобки и приняв во внимание (2.7), придем к следующему уравнению плоской вол­ны, распространяющейся вдоль оси х:

x
=
a

cos (
w
t + kx
+
a
)

Уравнение волны, распространяющейся в сторону убывания х

,
отличается от (2.8) только знаком при члене kx

.

При выводе формулы (2.8) мы предполагали, что амплитуда колебаний не зависит от х

.
Для плоской волны это наблюдается в том случае, когда энергия волны не поглощается средой. При рас­пространении в поглощающей энергию среде интенсивность волны с удалением от источника колебаний постепенно уменьшается – наблюдается затухание волны. Опыт показывает, что в однородной среде такое затухание происходит по экспоненциальному закону:a

= a
0
e–γx

. Соответственно урав­нение плоской волны имеет следующий вид:

(2.9)

x
=
a

0

e–γx
cos (
w
t + kx
+
a
)

(a

0

– амплитуда в точках плоскости х

= 0).

Теперь найдем уравнение сферической волны. Всякий реаль­ный источник волн обладает некоторой протяженностью. Однако если ограничиться рассмотрением волны на расстояниях от источ­ника, значительно превышающих его размеры, то источник можно считать точечным. В изотропной и однородной среде волна, по­рождаемая точечным источником, будет сферической. Допустим, что фаза колебаний источника равнаw
t +
a
.
Тогда точки, лежа­щие на волновой поверхности радиуса r

,
будут колебаться с фазой

w
( t – r/
υ ) =
w
t – kr
+
a

a

(2.10)

(чтобы пройти путь r

,
волне требуется время τ
=r

/
υ
).
Амплитуда колебаний в этом случае, даже если энергия волны не поглощается средой, не остается постоянной — она убывает с расстоянием отисточника по закону 1/

r

. Следовательно, уравнение сферической волны имеет вид

r

x
=
cos (
w
t + kx
+
a
)

где a

—
постоянная величина, численно равная амплитуде на рас­стоянии от источника, равном единице. Размерность а

равна раз­мерности колеблющейся величины, умноженной на размерность длины.Для поглощающей среды в формулу (2.10) нужно доба­вить множитель e–γx

.

Напомним, что в силу сделанных предположений уравнение (2.10) справедливо только при r

, значительно превышающих размеры источника. При стремлении r

к нулю выражение для амп­литуды обращается в бесконечность. Этот абсурдный результат объясняется неприменимостью уравнения для малых r

.

§ 3.
Уравнение плоской волны, распространяющейся в произвольном направлении

Найдем уравнение плоской волны, распространяющейся в на­правлении, образующем с осями координат x
,
y
,
z
углы α, β, γ. Пусть колебания в плоскости, проходя­щей через начало координат (рис. 3.1), имеют вид

(3.1)

x = a
cos ( wt
+a )

(3.2)

υ

ω

Возьмем волновую поверхность (пло­скость), отстоящую от начала коорди­нат на расстояние l
. Колебания в этой плоскости будут отставать от колебаний (3.1) на время τ =l
/υ:

x = a
cos [ w( t
− ) +a ] =a
cos ( wt
− kl
+a ).

(k
=ω/υ; см. формулу (2.7)).

Выразим l
через радиус-вектор точек рассматриваемой поверх­ности. Для этого введем единичный вектор n
нормали к волновой поверхности. Из рис. 3.1 видно, что скалярное произведение n
на радиус-вектор r
любой из точек поверхности равно l
:

nr
=
r
cos φ=l
.

(3.3)

Заменим в (3.2) l
черезnr
:

x = a
cos ( wt
− k
nr
+a )

(3.4)

Вектор

k =
k
n
,

(3.5)

равный по модулю волновому числуk =
2π/λи имеющий направ­ление нормали к волновой поверхности, называется волно­вым вектором. Таким образом, уравнение (3.3) можно представить в виде

x ( r
, t
) = a
cos ( wt − kr
+a )

Мы получили уравнение плоской незатухающей волны, распро­страняющейся в направлении, определяемом волновым векто­ром k
. Для затухающей волны нужно добавить в уравнение мно­жительe–
γl
= e–
γ nr
.

Функция (3.5) дает отклонение от положения равновесия точ­ки с радиусом-вектором r
в момент времени l
(r
оп­ределяет равновесное положение точки). Чтобы перейти от радиу­са-вектора точки к ее координатам х
,
у
,
z
,
выразим скалярное про­изведение kr
через компоненты векторов по координатным осям:

kr
= kx
x
+ky
y
+ kz
z
.

(3.7)

(3.6)

Тогда уравнение плоской волны примет вид

x (x
,
y
,
z
, t
) = a
cos ( wt − kx
x
–ky
y
– kz
z
+a )

2π

λ

cos γ.

2π

λ

cos β,

cos α,

2π

Здесь

λ

Функция (3.6) дает отклонение точки с координатами х
,
у
,
z
в мо­мент времени t
. В случае, когда n
совпадает сe
x
, kx
= k
, ky
= kz
= 0 (и уравнение (3.6) переходит в (2.8). Очень удобна запись урав­нения плоской волны в виде

x = Re aei
(ωt
-kr
+α)

(3.10)

(3.8)

(3.9)

Знак Re обычно опускают, подразумевая, что берется только вещественная часть соответствующего выражения. Кроме того, вводят комплексное число

â = ae
i
α
,

которое называют комплексной амплитудой. Модуль этого числа дает амплитуду, а аргумент – начальную фазу волны Таким образом, уравнение плоской незатухающей волны мож­но представить в виде

x = â
ei
(ωt
-kr
)

Преимущества такой записи выяснятся в дальнейшем.

§ 4.
Волновое уравнение

Уравнение любой волны является решением дифференциального уравнения, называемого волновым. Чтобы установить вид волнового уравнения, сопоставим вторые частные производные по координатам и времени от функции (3.6), описывающей плос­кую волну. Продифференцировав эту функцию дважды по каждой из переменных, получим

Сложение производных по координатам дает

Сопоставив эту сумму с производной по времени и заменивk
2
/ω2
через 1/υ2
(см. (2.7)), получим уравнение

Это и есть волновое уравнение. Его можно записать в виде

υ

где Δ – оператор Лапласа.

Легко убедиться в том, что волновому уравнению удовлетворя­ет не только функция (3.6), но и любая функция вида

f(x, y, z, t)=f( wt − kx x –ky y – kz z +a)

Действительно, обозначив выражение, стоящее в скобках в правой части (4.4), через ς, имеем

Аналогично

Подстановка выражений (4.5) и (4.6) в уравнение (4.2) приво­дит к выводу, что функция (4.4) удовлетворяет волновому урав­нению, если положить υ=ω/k.

Всякая функция, удовлетворяющая уравнению вида (4.2), описывает некоторую волну, причем корень квадратный из вели­чины, обратной коэффициенту при,
дает фазовую скоростьэтой волны.

Отметим, что для плоской волны, распространяющейся вдоль оси х
,
волновое уравнение имеет вид

υ

§ 5.
Скорость упругих волн в твердой среде

Пусть в направлении оси х
распространяется продольная плос­кая волна. Выделим в среде цилиндрический объем с площадью основания S и высотой Δx
(рис. 5.1). Смещения ξ частиц с разными х
в каждый момент времени оказываются различными (см. рис. 1.3, на котором изображено ξ в функции от x
). Если основание цилиндра с координатой х
имеет в некоторый момент времени смещениеξ, то смещение основания с координатой x+
Δx
будет ξ+Δξ. Поэтому рассматриваемый объем деформируется – он получает удлинение (алгебраическая величина,соответствует сжатию цилиндра) или относительное удлинение. Величина дает среднюю деформацию цилинд­ра. Вследствие того, что ξменяется с изменением х
не по линейному зако­ну, истинная деформация в разных сечениях цилиндра будет неодинако­вой. Чтобы получить деформацию ε в сечении х
, нужно устремить Δx
к нулю. Таким образом,

(символ частной производной взят потому, что зависит не толькоот x
, но и отt
).

Наличие деформации растяжения свидетельствует о существо­вании нормального напряжения σ, при малых деформациях про­порционального величине деформации. Согласно формуле (14.6) 1-го тома

(E
– модуль Юнга среды). Отметим, что относительная деформа­ция ,
аследовательно, и напряжение σ в фиксированный мо­мент времени зависят от х
(рис. 5.2). Там, где отклонения частиц от положения равновесия максимальны, деформация и напряжение равны нулю. В местах, где частицы проходят через положение равновесия, деформация и напряжение достигают максимального значения, причем положительные и отрицательные деформации (т. е. растяжения и, сжатия) чередуются друг с другом. В соответ­ствии с этим, как ужеотмечалось в §1. продольная волна состоит из чередующихся разрежений и сгущений среды.

Обратимся снова к цилиндрическому объему, изображенному на рис.5.1, и напишем для него уравнение движения. Полагая Δx
очень малым, проекцию ускорения на ось x
можно считать для всех точек цилиндра одинаковой и равной . Масса цилиндра рав­на ρSΔx
, где ρ – плотность недеформированной среды. Проек­ция на осьx
силы, действующей на цилиндр, равна произведению площади основания цилиндра S на разность нормальных напря­жений в сечениях (x+
Δx
+ξ+Δξ) и (x+
ξ):

Значение производной в сечении x+
δможно для малых δ представить с большой точностью в виде

где под подразумевается значение второй частной произ­водной ξ по х
в сечении х
.

Ввиду малосги величинΔx,
ξ и Δξпроизведем в выражении (5.3) преобразование (5.4):

< Δx

<

(относительное удлинение при упругих деформациях бывает много меньше единицы. Поэтому Δξ , так что слагаемым Δξв суммеΔx
+Δξ, можно пренебречь).

Подставив найденные значения массы, ускорения и силы в уравнение второго закона Ньютона, получим

Наконец, сократив на S
Δx
, придем к уравнению

которое представляет собой волновое уравнение, написанное для случая, когда ξ не зависит от у
иz
. Сопоставление уравнений (4.7) и (5.6) дает, что

υ =

Таким образом, фазовая скорость продольных упругих волн равна корню квадратному из модуля Юнга, деленного на плотность среды. Аналогичные вычисления для поперечных волн приводят к выражению

υ =

где G – модуль сдвига.

§ 6.
Энергия упругой волны

Пусть в некоторой среде распространяется в направлении оси х
плоская продольная волна

x = a
cos ( wt
− kx
+a )

Выделим в среде элементарный объем ΔV, настолько малый, чтобы скорость движения и деформацию во всех точках этого объема можно было считать одинаковыми и равными, соответственно, и .

Выделенный нами объем обладает кинетической энергией

(ρΔV – масса объема, –
его скорость).

Согласно формуле (25.4) 1-го тома рассматриваемый объем обладает также потенциальной энергией упругой деформации

(ε = – относительное удлинение цилиндра, Е —
модуль Юнга среды). Заменим в соответствии с (5.7) модуль Юнга через ρυ2
(ρ – плотность среды, υ – фазовая скорость волны). Тогда выражение для потенциальной энергии объема ΔV примет вид

Выражения (6.2) и (6.3) в сумме дают полную энергию

Разделив эту энергию на объемΔV, в котором она содержится, получим плотность энергии

w

Дифференцирование уравнения (6.1) один раз по t
, другой раз по x
дает

Подставив эти выражения в формулу (6.4) и приняв во внимание, что k2
υ2
= ω2
, получим

(6.5)

В случае поперечной волны для плотности энергии получается та­кое же выражение.

(6.6)

Из (6.5) следует, что плотность энергии в каждый момент времени в разных точках пространства различна. В одной и той же точке плотность энергии изменяется со временем по закону квад­рата синуса. Среднее значение квадрата синуса равно 1/2. Соот­ветственно среднее по времени значение плотности энергии в каж­дой точке среды равно

Плотность энергии (6.5) и ее среднее значение (6.6) пропорцио­нальны плотности среды ρ, квадрату частоты ω и квадрату ампли­туды волны а.
Подобная зависимость имеет место не только для незатухающей плоскости волны, но и для других видов волн (плос­кой затухающей, сферической и т. д.).

(6.7)

Итак, среда, в которой распространяется волна, обладает до­полнительным запасом энергии. Эта энергия доставляется от ис­точника колебаний в различные точки среды самой волной; следо­вательно, волна переносит с собой энергию. Количество энергии, переносимое волной через некоторую поверхность в единицу вре­мени, называется потоком энергии через эту поверх­ность. Если через данную поверхность переносится за времяdt
энергияdW,
то поток энергии Φравен

Поток энергии – скалярная величина, размерность которой равна размерности энергии, деленной на размерность времени, т. е. сов­падает с размерностью мощности. В соответствии с этим Φ измеря­ется в ваттах, эрг/с и т. п.

Поток энергии в разных точках среды может быть различной интенсивности. Для характеристики течения энергии в разных точках пространства вводится векторная величина, называемая плотностью потока энергии. Эта величина численно равна потоку энергии через единичную площадку, помещенную в данной точке перпендикулярно к направлению, в котором пере­носится энергия. Направление вектора плотности потока энергии совпадает с направлением переноса энергии.

Пусть через площадку , перпендикулярную к направлению распространения волны, переносится за время Δt
энергия ΔW
. Тогда плотность потока энергии равна

(6.8)

(см. (6.7)). Через площадку(рис. 6.1) будет перенесена за время Δt
энергия ΔW
, заключенная в объеме цилиндра с основа­ниеми высотой υΔt
(υ – фазовая скорость волны). Если размеры цилиндра достаточно малы (за счет малостии Δt
) для того, чтобы плотность энергии во всех точках цилиндра можно было считать одинаковой, то ΔW
можно найти как произведение плотности энергииw
на объем цилиндра, равный υΔt
:

Подставив это выражение в формулу (6.8), получим для плот­ности потока энергии:

(6.9)

(6.10)

(6.11)

(6.12)

Наконец, введя векторv
, модуль которого равен фазовой скорости волны, а направление совпадает с направлением распростране­ния волны (и переноса энергии), можно написать

j
= w
v

Рис.6.2

Рис.6.1

Мы получили выражение для вектора плотности потока энер­гии. Этот вектор был впервые введен в рассмотрение выдающимся русским физиком Н. А. Умовым и называется вектором Умова. Вектор (6.10), как и плотность энергии w,
различен в разныхточках про-

странства, а в данной точке изменяется со временем по закону квадрата синуса. Его среднее значение равно

(см. (6.6)). Выражение (6.11), так же как и (6.6), справедливо для волны любого вида (сферической, затухающей и т. д.).

Отметим, что, когда говорят об интенсивности волны в данной точке, то имеют в виду среднее по времени значение плот­ности потока энергии, переносимой волной.

Зная j
во всех точках произвольной поверхности S
, можно вычислить поток энергии через эту поверхность. С этой целью разо­бьем поверхность на элементарные участкиdS.
За время dt
через площадку dS
пройдет энергия dW,
заключенная в изображенном на рис. 6.2 косом цилиндре. Объем этого цилиндра равенdV
= υ dt dS
cosφ . В нем содержится энергияdW = w dV = w
υ dtdS
cos φ (w
—
мгновенное значение плотности энергии в том месте, где рас­положена площадкаdS
). Приняв во внимание, что

w
υ dS
cos φ = j
dS
cos φ =j
dS

(d
S
=
n dS;
см. рис. 6.2), можно написать:dW
=
j
d
S
dt.
Отсюда для потока энергии d
Φ через площадку dS
получается формула

(6.13)

(6.14)

(ср. с формулой (11.5)). Полный поток энергии через поверхность равен сумме элементарных потоков (6.12):

В соответствии с (11.7) можно сказать, что поток энергии равен потоку вектора j
через поверхность S
.

Заменив в формуле (6.13) вектор j
его средним по времени значением, получим среднее значение Φ:

Вычислим среднее значение потока энергии через произвольную волновую поверхность незатухающей сферической волны. В каж­дой точке этой поверхности векторы j
и d
S
совпадают по направле­нию. Кроме того, модуль вектора j
для всех точек поверхности оди­наков. Следовательно,

(r
— радиус волновой поверхности). Согласно (6.11) .
Таким образом,

(ar
– амплитуда волны на расстоянии r
от источника). Поскольку энергия волны не поглощается средой, средний поток энергии че­рез сферу любого радиуса должен иметь одинаковое значение, т. е. должно выполняться условие

Отсюда следует, что амплитуда а,
незатухающей сферической волны обратно пропорциональна расстоянию r
от источника волны (см. формулу (5.10)). Соответственно средняя плотность потока энергии обратно пропорциональна квадрату расстояния от источника.

В случае плоской затухающей волны амплитуда убывает с рас­стоянием по закону a = = a0
e-γx
(см. (2.9)). Соответственно средняяплотность потока энергии (т. е. интенсивность волны) убывает по

(6.15)

Здесь c=
2γ – величина, называемая коэффициентом поглощения волны. Она имеет размерность, обратную размерности длины. Легко сообразить, что величина, обратнаяc,
равна расстоянию, на котором интенсивность волны уменьшается в е
раз.

§ 7. Стоячие волны

Если в среде распространяется одновременно несколько волн, то колебания частиц среды оказываются геометрической суммойколебаний, которые совершали бы частицы при распространении каждой из волн в отдельности. Следовательно, волны просто накладываются одна на другую, не возмущая друг друга. Это утверждение называется принципом суперпозиции (наложения) волн.

В случае, когда колебания, обусловленные отдельными волна­ми в каждой из точек среды, обладают постоянной разностью фаз, волны называются когерентными. При сложении когерентных волн возникает явление интерференции, заключающееся в том, что колебания в одних точках усиливают, а в других точках ослабляют друг друга.

Очень важный случай интерференции наблюдается при нало­жении двух встречных плоских волн с одинаковой амплитудой. Возникающий в результате колебательный процесс называется стоячей волной. Практически стоячие волны возникают при отражении волн от преград. Падающая на преграду волна и бегущая ей навстречу отраженная волна, налагаясь друг на друга, образуют стоячую волну.

Напишем уравнения двух плоских волн, распространяющихся вдоль оси х
в противоположных направлениях:

x1
= a
cos ( wt
− kx
+a1
), x2
= a
cos ( wt
+ kx
+a2
).

(7.2)

(7.1)

Сложив вместе эти уравнения и преобразовав результат по формуле для суммы косинусов, получим

Уравнение (7.1) есть уравнение стоячей волны. Чтобы упростить его, выберем начало отсчета х
так, чтобы разность α1
– α2
стала равной нулю, а начало отсчетаt
—
так, чтобы оказалась равной нулю сумма α1
– α2
. Кроме того, заменим волновое числоk
егозначением 2π/λ. Тогда уравнение (7.1) примет вид

Из (7.2) видно, что в каждой точке стоячей волны происходят колебания той же частоты, что и у встречных волн, причем ампли­туда зависит от х
:

В точках, координаты которых удовлетворяют условию2πx
/λ = ±n
π (n
Î N) – (3.3), амплитуда колебаний достигает максимального значения. Эти точки называются пучностями стоячей волны. Из (3.3) получаются значения координат пучностей:

(7.4)

Следует иметь в виду, что пучность представляет собой не одну единственную точку, а плоскость, точки которой имеют значения координаты x
, определяемые формулой (7.4).

В точках, координаты которых удовлетворяют условию

амплитуда колебаний обращается в нуль. Эти точки называются узлами стоячей волны. Точки среды, находящиеся в узлах, колебаний не совершают. Координаты узлов имеют значения

(7.5)

Узел, как и пучность, представляет собой не одну точку, а плос­кость, точки которой имеют значения координаты х
,
определяе­мые формулой (7.5).

2a cos(2px /l)

Из формул (7.4) и (7.5) следует, что расстояние между сосед­ними пучностями, так же как и расстояние между соседними узла­ми, равноl/2.
Пучности и узлы сдвинуты друг относительно друга на четверть длины волны.

Обратимся снова к уравнению (7.2). Множитель при переходе через нулевое значение меняет знак. В соответствии с этим фаза колебаний по разные стороны от узла отличается на p. Это означает, что точки, лежащие по разные стороны от узла, ко­леблются в противофазе. Все точки, заключенные между двумя со­седними узлами, колеблются синфазно. На рис. 7.1 дан ряд «моментальных фотографий» отклонений точек от положения равновесия. Первая «фотография» соответствует моменту, когда отклонения достигают наибольшего абсолютного значения. Последующие «фотографии» сделаны с интервалами в четверть периода. Стрелками показаны скорости частиц.

Продифференцировав уравнение (7.2) один раз поt
,
а другой раз по х
,
найдем выражения для скорости частиц и для дефор­мации среды e:

(7.6)

(7.7)

Уравнение (7.6) описывает стоячую волну скорости, а (7.7) – стоячую волну деформации.

На рис. 7.2 сопоставлены «моментальные фотографии» смеще­ния, скорости и деформации для моментов времени 0 и T/4.Из графиков видно, что узлы и пучности скорости совпадают с узлами и пуч­ностями смещения; узлы же и пучно­сти деформации совпадают соответ­ственно с пучностями и узлами сме­щения. В то время какx и ε достигают максимальных значений, обраща­ется в нуль, и наоборот. Соответст­венно дважды за период происходит превращение энергии стоячей волны то полностью в потенциаль­ную, сосредоточенную в основном вблизи узлов волны (где нахо­дятся пучности деформации), то полностью в кинетическую, со­средоточенную в основном вблизи пучностей волны (где находятся пучности скорости). В результате происходит переход энергии от каждого узла к соседним с ним пучностям и обратно. Средний по времени поток энергии в любом сечении волны равен нулю.