Кредиты от коммерческого банка на жилищное строительство

Задание 1

Приведены поквартальные данные о кредитах от коммерческого банка на жилищное строительство (в условных единицах) за 4 года (всего 16 кварталов, первая строка соответствует первому кварталу первого года).

Требуется:

1) Построить адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса с учетом сезонного фактора, приняв параметры сглаживания a
1
=0,3; a
2
=0,6; a
3
=0,3.

2) Оценить точность построенной модели с использованием средней относительной ошибки аппроксимации.

3) Оценить адекватность построенной модели на основе исследования:

- случайности остаточной компоненты по критерию пиков;

- независимости уровней ряда остатков по d
-критерию (критические значения d
1
= 1,10 и d
2
= 1,37) и по первому коэффициенту автокорреляции при критическом значении r
1
= 0,32;

- нормальности распределения остаточной компоненты по R/S-критерию с критическими значениями от 3 до 4,21.

4) Построить точечный прогноз на 4 шага вперед, т.е. на 1 год.

5) Отразить на графике фактические, расчетные и прогнозные данные.

Таблица 1

Поквартальные данные о кредитах от коммерческого банка на жилищное строительство (в условных единицах) за 4 года

t	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	2	13	14	15	16
Y(t)	28	36	43	28	31	40	49	30	34	44	52	33	39	48	58	36

Решение

Будем считать, что зависимость между компонентами тренд-сезонный временный ряд мультипликативная. Мультипликативная модель Хольта-Уинтерса с линейным ростом имеет следующий вид:

, (1)

где k
– период упреждения;

Y
р
(
t
)
— расчетное значение экономического показателя для t
-гo периода;

a
(
t
)
, b
(
t
)
и F
(
t
)
- коэффициенты модели; они адаптируются, уточняются по мере перехода от членов ряда с номером t
-1
к t
;

F
(
t
+
k
-
L
)
- значение коэффициента сезонности того периода, для которого рассчитывается экономический показатель;

L
- период сезонности (для квартальных данных L
=4
, для месячных – L
=12).

Таким образом, если по формуле 1 рассчитывается значение экономического показателя, например за второй квартал, то F
(
t
+
k
-
L
)
как раз будет коэффициентом сезонности второго квартала предыдущего года.

Уточнение (адаптация к новому значению параметра времени t
) коэффициентов модели производится с помощью формул:

; (2)

; (3)

. (4)

Параметры сглаживания a
1
, a
2
и a
3
подбирают путем перебора с таким расчетом, чтобы расчетные данные наилучшим образом соответствовали фактическим (т.е. чтобы обеспечить удовлетворительную адекватность и точность модели).

Из формул 1 - 4 видно, что для расчета а
(1) и b
(1) необходимо оценить значения этих коэффициентов для предыдущего период времени (т.е. для t
=1-1=0). Значения а
(0) и b
(0) имеют смысл этих же коэффициентов для четвертого квартала года, предшествующего первому году, для которого имеются данные в табл. 1.

Для оценки начальных значений а
(0) и b
(0) применим линейную модель к первым 8 значениям Y
(
t
)
из табл. 1. Линейная модель имеет вид:

. (5)

Метод наименьших квадратов дает возможность определить коэффициенты линейного уравнения а
(0) и b
(0) по формулам 6 - 9:

; (6)

; (7)

; (8)

. (9)

Применяя линейную модель к первым 8 значениям ряда из таблицы 1 (т.е. к данным за первые 2 года), находим значения а
(0) и b
(0). Составим вспомогательную таблицу для определения параметров линейной модели:

Таблица 2

t		Y(t)	t-tcp	Y-Ycp	(t-tcp )2	(Y-Ycp )(t-tcp )
1		28	-3,5	-7,625	12,25	26,6875
2		36	-2,5	0,375	6,25	-0,9375
3		43	-1,5	7,375	2,25	-11,0625
4		28	-0,5	-7,625	0,25	3,8125
5		31	0,5	-4,625	0,25	-2,3125
6		40	1,5	4,375	2,25	6,5625
7		49	2,5	13,375	6,25	33,4375
8		30	3,5	-5,625	12,25	-19,6875
S	36	285	0	0	42	36,5

Уравнение (5) с учетом полученных коэффициентов имеет вид: Yp
(
t
)
=31,714+0,869·t
. Из этого уравнения находим расчетные значения Y
р
(
t
)
и сопоставляем их с фактическими значениями (табл. 3). Такое сопоставление позволяет оценить приближенные значения коэффициентов сезонности I-IV кварталов F
(-3)
, F
(-2)
, F
(-1)
и F
(0)
для года, предшествующего первому году, по которому имеются данные в табл. 1. Эти значения необходимы для расчета коэффициентов сезонности первого года F
(1),
F
(2),
F
(3),
F
(4)
и других параметров модели Хольта-Уинтерса по формулам 1 - 4.

Таблица 3

Сопоставление фактических данных Y
(
t
)
и рассчитанных по линейной модели значений Yp
(
t
)

t	1	2	3	4	5	6	7	8
Y(t)	28	36	43	28	31	40	49	30
Yp (t)	32,583	33,452	34,321	35,190	306,060	36,929	37,798	38,667

Коэффициент сезонности есть отношение фактического значения экономического показателя к значению, рассчитанному по линейной модели. Поэтому в качестве оценки коэффициента сезонности I квартала F
(-3)
может служить отношение фактических и расчетных значений Y
(
t
)
I квартала первого года, равное Y
(1)
/Y
р
(1)
, и такое же отношение для I квартала второго года (т.е. за V квартал t
=5) Y
(5)/
Y
р(5)
. Для окончательной, более точной, оценки этого коэффициента сезонности можно использовать среднее арифметическое значение этих двух величин.

F
(-3) = [ Y
(1) / Yp
(1) + Y
(5) / Yp
(5) ] / 2=[ 28 / 32,583 + 31 / 36,060 ] / 2 = 0,8595.

Аналогично находим оценки коэффициента сезонности для II, III и IV кварталов:

F
(-2) = [Y
(2) / Yp
(2) + Y
(6) / Yp
(6) ] / 2 = 1,0797;

F
(-1) = [Y
(3) / Yp
(3) + Y
(7) / Yp
(7) ] / 2 = 1,2746;

F
(0) = [Y
(4) / Yp
(4) + Y
(8) / Yp
(8) ] / 2 = 0,7858.

Оценив значения а
(0),
b
(0), а также F
(-3), F
(-2), F
(-1) и F
(0), можно перейти к построению адаптивной мультипликативной модели Хольта-Уинтерса с помощью формул 1 - 4.

Из условия задачи имеем параметры сглаживания a
1
=0,3; a
2
=0,6; a
3
=0,3. Рассчитаем значения Yp
(t
), a
(t
), b
(t
) и F
(t
) для t
=l.

Из уравнения 1, полагая что t
=0, k
=1, находим Y
р
(1)
:

Из уравнений 2 - 4, полагая что t
=1, находим:

;

;

.

Аналогично рассчитаем значения Yp
(
t
),
a
(
t
),
b
(
t
)
и F
(
t
)
для t
=2:

;

;

;

для t
=3:

;

;

;

для t
=4:

;

;

;

для t
=5:

Обратим внимание на то, что здесь и в дальнейшем используются коэффициенты сезонности F
(
t
-
L
)
, уточненные в предыдущем году (L
=4):

;

;

;

Продолжая аналогично для, t
= 6,7,8,…,16 строят модель Хольта-Уинтерса (табл. 4). Максимальное значение t
, для которого можно находить коэффициенты модели, равно количеству имеющихся данных по экономическому показателю Y
(
t
)
. В нашем примере данные приведены за 4 года, то есть за 16 кваралов. Максимальное значение t
равно 16.

Таблица 4
Модель Хольта-Уинтерса

t	Y ( t )	a(t)	b(t)	F(t)	Yp(t)	Абс.погр., E ( t )	Отн.погр., %
1	2	3	4	5	6	7	8
0	31,71	0,87	0,7858
1	28,0	32,58	0,87	0,8594	28,01	-0,01	0,02
2	36,0	33,42	0,86	1,0782	36,11	-0,11	0,32
3	43,0	34,11	0,81	1,2661	43,69	-0,69	1,60
4	28,0	35,14	0,87	0,7924	27,44	0,56	1,99
5	31,0	36,03	0,88	0,8600	30,95	0,05	0,16
6	40,0	36,97	0,90	1,0805	39,80	0,20	0,51
7	49,0	38,11	0,97	1,2778	47,94	1,06	2,17
8	30,0	38,72	0,86	19	30,97	-0,97	3,24
9	34,0	39,57	0,86	0,8596	34,04	-0,04	0,11
10	44,0	40,51	0,88	1,0839	43,68	0,32	0,73
11	52,0	41,19	0,82	1,2687	52,90	-0,90	1,73
12	33,0	42,07	0,84	0,7834	32,84	0,16	0,47
13	39,0	43,64	1,06	0,8800	36,88	2,12	5,43
14	48,0	44,58	1,02	1,0796	48,45	-0,45	0,95
15	58,0	45,64	1,03	1,2700	57,85	0,15	0,25
16	36,0	46,45	0,97	0,7783	36,56	-0,56	1,56

Проверка качества модели

Для того чтобы модель была качественной уровни, остаточного ряда E(t) (разности Y(t)-Yp(t) между фактическими и расчетными значениями экономического показателя) должны удовлетворять определенным условиям (точности и адекватности). Для проверки выполнения этих условий составим таблицу 5.

Проверка точности модели

Будем считать, что условие точности выполнено, если относительная погрешность (абсолютное значение отклонения abs
{E
(
t
)
}, поделенное на фактическое значение Y
(
t
)
и выраженное в процентах 100%·abs
{E
(
t
)
}/Y
(
t
)
) в среднем не превышает 5%. Суммарное значение относительных погрешностей (см. гр. 8 табл. 4) составляет 21,25, что дает среднюю величину 21,25/16 = 1,33%.

Следовательно, условие точности выполнено.

Таблица 5
Промежуточные расчеты для оценки адекватности модели

Квартал, t	Отклонение, E( t)	Точки поворота	E( t) 2	[E(t)-E(t-1) ]2	E(t)∙E(t-1)
1	2	3	4	5	6
1	-0,01	-	0,00	-	-
2	-0,11	0	0,01	0,01	0,00
3	-0,69	1	0,48	0,33	0,08
4	0,56	1	0,31	1,56	-0,38
5	0,05	1	0,00	0,26	0,03
6	0,20	0	0,04	0,02	0,01
7	1,06	1	1,13	0,74	0,22
8	-0,97	1	0,95	4,14	-1,03
9	-0,04	0	0,00	0,87	0,04
10	0,32	1	0,10	0,13	-0,01
11	-0,90	1	0,80	1,49	-0,29
12	0,16	0	0,02	1,11	-0,14
13	2,12	1	4,49	3,85	0,33
14	-0,45	1	0,21	6,62	-0,96
15	0,15	1	0,02	0,36	-0,07
16	-0,56	-	0,32	0,50	-0,08
S	0,88	10	8,88	21,98	-2,27

Проверка условия адекватности

Для того чтобы модель была адекватна исследуемому процессу, ряд остатков E
(
t
)
должен обладать свойствами случайности, независимости последовательных уровней, нормальности распределения.

Проверка случайности уровней

. Проверку случайности уровней остаточной компоненты (гр. 2 табл. 5) проводим на основе критерия поворотных точек. Для этого каждый уровень ряда E
(
t
)
сравниваем с двумя соседними. Если он больше (либо меньше) обоих соседних уровней, то точка считается поворотной и в гр. 3 табл. 5 для этой строки ставится 1, в противном случае в гр. 3 ставится 0. В первой и последней строке гр. 3 табл. 5 ставится прочерк или иной знак, так как у этого уровня нет двух соседних уровней.

Общее число поворотных точек в нашем примере равно р
= 10.

Рассчитаем значение q
:

.

Функция int
означает, что от полученного значения берется только целая часть. При N
= 16

.

Если количество поворотных точек р
больше q
, то условие случайности уровней выполнено. В нашем случае р
= 10, q
= 6, значит условие случайности уровней ряда остатков выполнено.

Проверка независимости уровней ряда остатков (отсутствия автокорреляции)

. Проверку проводим двумя методами:

1) по d
-критерию Дарбина-Уотсона;

2) по первому коэффициенту автокорреляции r
(1).

1) .

Примечание
. В случае если полученное значение больше 2, значит, имеет место отрицательная автокорреляция. В таком случае величину d
уточняют, вычитая полученное значение из 4. Находим уточненное значение d
`=
4-2,47=1,53

Полученное (или уточненное) значение d
сравнивают с табличными значениями d
1
и d
2
. Для нашего случая d
1
=1,08, а d
2
=1,36.

Если 0<d
<d
1
, то уровни автокоррелированы, то есть, зависимы, модель неадекватна.

Если d
1
<d
<d
2
, то критерий Дарбина-Уотсона не дает ответа на вопрос о независимости уровней ряда остатков. В таком случае необходимо воспользоваться другими критериями (например, проверить независимость уровней по первому коэффициенту автокорреляции).

Если d
2
<d
<2 , то уровни ряда остатков являются независимыми.

В нашем случае d
2
<d
`
<2 , следовательно уровни ряда остатков являются независимыми.

2)

Если модуль рассчитанного значения первого коэффициента автокорреляции меньше критического значения | r
(1) | < r
та6
, то уровни ряда остатков независимы. Для нашей задачи критический уровень r
та6
= 0,32. Имеем: | r
(1) | = 0,26 < r
таб
= 0,32 - значит уровни независимы.

Проверка соответствия ряда остатков нормальному распределению определяем по

RS

-критерию

. Рассчитаем значение RS
:

,

где Е
max
- максимальное значение уровней ряда остатков E
(
t
)
;

Emin
- минимальное значение уровней ряда остатков E
(
t
)
(гр. 2 табл. 5):

S
- среднее квадратическое отклонение.

Е
max
=2,12, Emin
=-0,97, Е
max
-Emin
= 2,12 - (-0,97) = 3,09;

Полученное значение RS
сравнивают с табличными значениями, которые зависят от количества точек N
и уровня значимости. Для N
=16 и 5%-го уровня значимости значение RS
для нормального распределения должно находиться в интервале от 3,00 до 4,21.

Так как 3,00 < 4,02 < 4,21, полученное значение RS
попало в заданный интервал. Значит, уровни ряда остатков подчиняются нормальному распределению.

Расчет прогнозных значений экономического показателя

Составим прогноз на четыре квартала вперед (т.е. на 1 год, с t
=17 по t
=20). Максимальное значение t
, для которого могут быть рассчитаны коэффициенты a
(
t
)
, b
(
t
)
определяется количеством исходных данных и равно 16. Рассчитав значения а
(16) и b
(16) (см. табл. 4), по формуле 1 можно определить прогнозные значения экономического показателя Yp
(
t
)
. Для t
=17 имеем:

Аналогично находим Yp
(18), Yp
(19), Yp
(20):

Ha нижеприведенном рисунке проводится сопоставление фактических и расчетных данных. Здесь же показаны прогнозные значения цены акции на 1 год вперед. Из рисунка видно, что расчетные данные хорошо согласуются с фактическими, что говорит об удовлетворительном качестве прогноза.

Рис. Сопоставление расчетных и фактических данных

Задание 2

Даны цены (открытия, максимальная, минимальная и закрытия) за 10 дней. Интервал сглаживания принять равным пяти дням. Рассчитать:

- экспоненциальную скользящую среднюю;

- момент;

- скорость изменения цен;

- индекс относительной силы;

- %R
, %К
и %D
.

Расчеты проводить для дней, для которых эти расчеты можно выполнить на основании имеющихся данных.

Таблица 6

Дни	Цены
	макс.	мин.	закр.
1	998	970	982
2	970	922	922
3	950	884	902
4	880	823	846
5	920	842	856
6	889	840	881
7	930	865	870
8	890	847	852
9	866	800	802
10	815	680	699

Решение.

Экспоненциальная скользящая средняя (ЕМА).

При расчете ЕМА
учитываются все цены предшествующего периода, а не только того отрезка, который соответствует интервалу сглаживания. Однако последним значениям цены придается большее значение, чем предшествующим. Расчеты проводятся по формуле:

,

где k
=2/(n
+1), n
– интервал сглаживания;

Ct
– цена закрытия t
-го дня;

ЕМА
t
– значения ЕМА
текущего дня t
.

Составим таблицу рассчитанных значений ЕМА
:

Таблица 7

t	Цена закрытия, Ct	EMA t
1	982	-
2	922	-
3	902	-
4	846	-
5	856
6	881
7	870
8	852	874,9926
9	802	850,6617
10	699	800,1078

Приведем алгоритм расчета.

1. Выбрать интервал сглаживания n
(в нашем случае n
= 5).

2. Вычислить коэффициент k
(k
= 2/(n
+ 1) = 2/(5 + 1) = 1/3).

3. Вычислить МА для первых 5 дней. Для этого сложим цены закрытия за первые 5 дней. Сумму разделим на 5 и запишем в графу ЕМАt
за 5-ый день.

4. Перейти на одну строку вниз по графе ЕМАt
. Умножить на k
данные по конечной цене текущей строки.

5. Данные по ЕМАt
за предыдущий день взять из предыдущей строки и умножить на (1- k
).

6. Сложить результаты, полученные на предыдущих двух шагах. Полученное значение ЕМАt
записать в графу текущей строки.

7. Повторить шаги 4, 5 и 6 до конца таблицы.

Построим график ЕМАt
.

Момент (МОМ).

Момент рассчитывается как разница конечной цены текущего дня Ct
и цены n
дней тому назад Ct
-
n
.

,

где Ct
– цена закрытия t
-го дня;

МОМ
t
– значения МОМ
текущего дня t
.

Составим таблицу рассчитанных значений МОМ
:

Таблица 8

t	Цена закрытия, Ct	МОМ t
1	982	-
2	922	-
3	902	-
4	846	-
5	856	856-982 = -126
6	881	881-922 = -41
7	870	870-902 = -32
8	852	852-846 = 6
9	802	802-856 = -54
10	699	699-881 = -182

Построим график МОМ
t
.

Положительные значения МОМ свидетельствуют об относительном росте цен, отрицательные – о снижении. Движение графика момента вверх из зоны отрицательных значений является слабым сигналом покупки до пересечения с нулевой линией. График момента пересекает нулевую линию в районе 7-8-го дня, а затем снова снижатся.

Скорость изменения цен

. Похожий индикатор, показывающий скорость изменения цен (ROC
), рассчитывается как отношение конечной цены текущего дня к цене n
дней тому назад, выраженное в процентах.

,

где Ct
– цена закрытия t
-го дня;

R
О
Ct
– значения R
О
C
текущего дня t
.

Составим таблицу рассчитанных значений R
О
C
:

Таблица 9

t	Цена закрытия, Ct	R О C t , %
1	982	-
2	922	-
3	902	-
4	846	-
5	856	856 / 982·100 = 87,17
6	881	881 / 922·100 = 95,55
7	870	870 / 902·100 = 96,45
8	852	852 / 846·100 = 100,71
9	802	802 / 856·100 = 93,69
10	699	699 / 881·100 = 79,34

Построим график R
О
Ct
.

ROC является отражением скорости изменения цены, а также указывает направление этого изменения. Графическое отображение и правила работы ничем не отличаются от момента. В качестве нулевой линии используется уровень 100%. Этот индикатор также показал сигнал к покупке в районе 7-8-го дня.

Индекс относительной силы (

RSI

).

Наиболее значимым осциллятором, расчет которого предусмотрен во всех компьютерных программах технического анализа, является индекс относительной силы.

Для расчета применяют формулу:

,

где AU
– сумма приростов конечных цен за n последних дней;

AD
– сумма убыли конечных цен за n последних дней.

Рассчитывается RSI следующим образом (таблица 10).

1. Выбираем интервал n
(в нашем случае n
=5).

2. Начиная со 2-го дня до конца таблицы, выполняем следующую процедуру. Вычитаем из конечной цены текущего дня конечную цену предыдущего дня. Если разность больше нуля, то ее записываем в графу «Повышение цены». Иначе абсолютное значение разности записываем в графу «Понижение цены».

3. С 6-го дня и до конца таблицы заполняем графы «Суммы повышений» и «Суммы понижений». Для этого складывают значения из графы «Повышение цены» за последние 5 дней (включая текущий) и полученную сумму записываем в графу «Суммы повышений» (величина AU в формуле). Аналогично находят сумму убыли конечных цен по данным графы «Понижение цены» и записываем в графу «Суммы понижений» (величина AD в формуле).

4. Зная AU и AD, по формуле рассчитываем значение RSI и записываем в графу RSI.

Таблица 10

t	Цена закрытия, Ct	Повышение цены	Понижение цены	Сумма повышений	Сумма понижений	RSI
1	982
2	922	17
3	902
4	846	67
5	856	26
6	881	36	36	110	24,66
7	870	22	36	115	23,84
8	852	1	37	115	24,34
9	802	38	75	48	60,98
10	699	57	132	22	85,71

Построим график RSI
.

Зоны перепроданности располагаются обычно ниже 25-20, а перекупленности – выше 75-80%. Как видно из рисунка, индекс относительной силы вышел из зоны, ограниченной линией 25%, на 7-8 день (сигнал к покупке).

Стохастические линии.

Если МОМ, ROC и RSI используют только цены закрытия, то стохастические линии строятся с использованием более полной информации. При их расчете используются также максимальные и минимальные цены. Как правило, применяются следующие стохастические линии: %
R
, %К
и %
D
.

,

где %К
t
– значение индекса текущего дня t
;

Ct
– цена закрытия t
-го дня;

L
5
и H
5
– минимальная и максимальная цены за 5 предшествующих дней, включая текущий (в качестве интервала может быть выбрано и другое число дней).

Похожая формула используется для расчета %
R
:

,

где %
Rt
– значение индекса текущего дня t
;

Ct
– цена закрытия t
-го дня;

L
5
и H
5
– минимальная и максимальная цены за 5 предшествующих дней, включая текущий.

Индекс %
D
рассчитывается аналогично индексу %К
, с той лишь разницей, что при его построении величины (Ct
- L
5
) и (H
5
- L
5
) сглаживают, беря их трехдневную сумму.

Ввиду того что %D имеет большой статистический разброс, строят еще ее трехдневную скользящую среднюю – медленное %D.

Составим таблицу 11 для нахождения всех стохастических линий.

1. В графах 1-4 приведены дни по порядку и соответствующие им цены (максимальная, минимальная и конечная).

2. Начиная с 5-го дня в графах 5 и 6 записываем максимальную и минимальную цены за предшествующие 5 дней, включая текущий.

3. В графе 7 записываем (Ct
- L
5
) – разность между данными графы 4 и графы 6.

4. Графу 8 составляют значения разности между данными графы 5 и графы 4, т.е. результат разности (H
5
- Ct
).

5. Размах цен за 5 дней (H
5
- L
5
) – разность между данными графы 5 и графы 6 записываем в графу 9.

6. Рассчитанные по формуле значения %K заносим в графу 10.

7. В графу 11 заносим значения %R, рассчитанные по формуле.

8. Шаги 2-7 повторяем для 6-й, 7-й строки и т.д. до конца таблицы.

9. Для расчета %D, начиная с 7-й строки, складываем значения Ct
- L
5
из графы 7 за 3 предыдущих дня, включая текущий (t=5, 6 и 7), и записываем в графе 12. Аналогично значения размаха (H
5
- L
5
) из графы 9 складываем за 3 предшествующих дня и заносим в графу 13.

10. По формуле, используя данные граф 12 и 13, рассчитываем %D и записываем в графу 14.

11. Шаги 9 и 10 повторяем для 8-й, 9-й и 10-й строк.

12. Медленное %D находим как скользящую среднюю от %D (данные берем из графы 14) с интервалом сглаживания, равным трем. Результат записываем в графу 15.

Таблица 11

t	макс. Нt	мин. Lt	закр. Ct	мак. за 5 дн. Н5	мин. за 5 дн. L5	Ct - L5	H5 - Ct	H5 - L5	%К t	%Rt	сумма за 3 дн. Ct - L5	сумма за 3 дн. H5 – L5	%Dt	медленное%Dt
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
1	998	970	982
2	970	922	922
3	950	884	902
4	88	823	846
5	920	842	856	998	823	33	142	175	18,86	81,14
6	889	840	881	970	823	58	89	147	39,46	60,54
7	930	865	870	950	823	47	80	127	37,01	62,99	138	449	30,73
8	890	847	852	930	823	29	78	107	27,10	72,90	134	381	35,17
9	866	800	802	930	800	2	128	130	1,54	98,46	78	364	21,43	29,11
10	815	680	699	930	680	19	231	250	7,60	92,40	50	487	10,27	22,29

Построим стохастические линии:

Смысл индексов %К
и %R
состоит в том, что при росте цен цена закрытия бывает ближе к максимальной, а при падении цен наоборот – ближе к минимальной. Индексы %R
и %К
проверяют, куда больше тяготеет цена закрытия.

Задание 3

3.1.
Банк выдал ссуду, размером 500 000 руб. Дата выдачи ссуды – 21.01.02, возврата – 11.03.02. Дата выдачи и день возврата считать за один день. Проценты рассчитываются по простой процентной ставке 10% годовых. Найти:

3.1.1) точные проценты с точным числом дней ссуды;

3.1.2) обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды;

3.1.3) обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды.

Решение

Используем формулы ; :

3.1.1) , , руб.

3.1.2) , , руб.

3.1.3) , , руб.

3.2.
Через 180 дней после подписания договора должник уплатит 500 000 руб. Кредит выдан под 10% годовых (проценты обыкновенные). Какова первоначальная сумма и дисконт?

Решение

Используем формулу:

руб.

Дробь в правой части равенства при величине S
называется дисконтным множителем
. Этот множитель показывает, какую долю составляет первоначальная сумма ссуды в окончательной величине долга. Дисконт суммы S
равен руб.

3.3.
Через 180 дней предприятие должно получить по векселю 500 000 руб. Банк приобрел этот вексель с дисконтом. Банк учел вексель по учетной ставке 10% годовых (год равен 360 дням). Определить полученную предприятием сумму и дисконт.

Решение

Используем формулы , .

руб.

руб.

3.4.
В кредитном договоре на сумму 500 000 руб. и сроком на 4 года зафиксирована ставка сложных процентов, равная 10% годовых. Определите наращенную сумму.

Решение

Воспользуемся формулой наращения для сложных процентов:

руб.

3.5.
Ссуда, размером 500 000 руб. предоставлена на 4 года. Проценты сложные, ставка – 10% годовых. Проценты начисляются 2 раза в год. Вычислить наращенную сумму.

Решение

Начисление процентов два раза в год, т.е. m=2. Всего имеется N = 4·2 =8 периодов начислений. По формуле начислений процентов по номинальной ставке: находим:

руб.

3.6.
Вычислить эффективную ставку процента, если банк начисляет проценты 2 раза в год, исходя из номинальной ставки 10% годовых.

Решение

По формуле находим:

, т.е. 10,25%.

3.7.
Определить какой должна быть номинальная ставка при начислении процентов 2 раза в год, чтобы обеспечить эффективную ставку 10% годовых.

Решение

По формуле находим:

, т.е. 9,76%

3.8.
Через 4 года предприятию будет выплачена сумма 500 000 руб. Определить ее современную стоимость при условии, что применяется сложная процентная ставка 10% годовых.

Решение

По формуле находим:

руб.

3.9.
Через 4 года по векселю должна быть выплачена сумма 500 000 руб. Банк учел вексель по сложной учетной ставке 10% годовых. Определить дисконт.

Решение

Дисконтирование по сложной учетной ставке осуществляется по формуле:

руб.

Дисконт суммы S
равен:

руб.

3.10.
В течение 4 лет на расчетный счет в конце каждого года поступает по 500 000 руб., на которые 2 раза в год начисляются проценты по сложной годовой ставке 10%. Определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.

Решение

По формуле находим:

руб.