Дифференциальные уравнения линейных систем автоматического регулирования - Реферат

Определение динамических свойств объектов с помощью дифференциальных уравнений может быть пока успешно выполнена только для сравнительно простых объектов. Как правило, в редких случаях можно при небольшой затрате времени составить достаточно точное дифференциальное уравнение объекта.

В настоящие время при составлении дифференциальных уравнений элементов и систем регулирования принято пользоваться безразмерными переменными величинами. Для этого отклонения величин относят к каким-либо постоянным (базовым) значениям величин, например к максимальным или средним (номинальным). Выражая входную и выходную величины элемента (или системы) в долях от этих базовых величин, вводят безразмерные координаты.

Например, уравнение

(С
*d (
D
Q) /С
C

*dt) +
D
Q= 2*I0
*R*
D
I/ С
C

*F (1)

D
I/
I =
XВХ

характеризует относительное отклонение входной величины от базового значения, а D
Q/
Q0
= Хвых

относительное отклонение выходной величины. Для перехода от размерной формы записи дифференциального уравнения к безразмерной производят замену абсолютных координат относительными. Так, например, уравнение (1)
можно записать в безразмерной форме, заменив:

D
Q =
Q0
*Хвых
и
D
I =
I *
XВХ

Тогда

С*
Q0
*
d Хвых
/ СC
*
F*
dt +
Q0
Хвых
= 2*
I0
2
*
R*
XВХ
/ СC
*
F

Разделив обе части уравнения на Q0, п

олучим:

С*
d Хвых
/ СC
*
F*
dt + Хвых
= 2*
I0
2
*
R*
XВХ
/ СC
*
F*
Q0

Обозначим:

С
/ С
C

* F= Т
2* I0
2
* R/ С
C

*F* Q0
= R

Коэффициенты при производных от выходной величины называются постоянными времени и имеют размерность времени

В самом деле,

С
[дж/град
]/ С
C

[вт/см2
*град
]*
F
[ см
]= С/ С
C
*
F
[дж*см2
*град/град*вт*см2

/>
]

Коэффициент К при XВХ
называется коэффициентом усиления, и естественно должен быть безразмерным:

2*
I0
2

[А2

]*
R
[Ом
]/ С
C

[ вт/см2
*град
]*
F
[ см
]*
Q0

[град
] =

= 2*
I0
2
*
R/ С
C
*
F*
Q0

[А2
*Ом*см2
*град/Вт*см2
*град
] =

= 2* I0
2
* R/ С
C

*F* Q0

[
0
]
= К

Уравнение (1) с учетом введённых обозначений будет иметь в безразмерной форме следующий вид:

Т* Х/
вых + Х вых = К* Х вх (2)

Определим для примера уравнение кривой разгона термической печи, дифференциальное уравнение которой было введено ранее:

Т* Х/
вых + Х вых = К* Х вх

Будем искать решение этого уравнения в виде

Х вых = С*е
rt
+
K* Х вх 0

Где r и С подлежат определению

Подставляя значения Х вых и Х/
вых
в уравнение (2).
Получим

Т* С*
r*е
rt
+ С*е
rt
= 0

Сокращая на С*е
rt

будем иметь:

Т*
r + 1 = 0

Откуда r = - 1/Т
и решение примет вид

Х вых = К* Х вх 0
(1-е-

t/

T
)

При t = 0
Х вых = 0
следовательно С = К* Х вх 0
.
тогда уравнение кривой разгона будет:

Х вых = К* Х вх 0 (
1-е-

t/

T
)

График кривой разгона:

При t =
¥
выходная величина Х вых
достигает предельного значения

Х вых. уст = К* Х вх 0

Коэффициент усиления К
определяет отношение установившихся значений выходной величины к входной:

К = Х вых. уст/ Х вх 0

Коэффициент усиления может быть непосредственно найден из графика переходной функции; постоянная времени Т характеризует инерционность процесса.

Таким образом, кривые разгона дают наглядное представление о характере протекания переходных процессов в системе или объекте.

Обсуждение:

comments powered by Disqus

Название реферата: Дифференциальные уравнения линейных систем автоматического регулирования

Слов:	660
Символов:	5816
Размер:	11.36 Кб.

Вам также могут понравиться эти работы: